Cho a+b+c=2014 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}=\frac{1}{2014}\).Tính S=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
cho a,b,c là các số thực thỏa mãn : \(a+b+c=2014\) và \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}\)
tính giá trị của biểu thức : \(M=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
Từ giả thiết suy ra : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}+\frac{a+b+c-c}{c\left(a+b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c^2+ac+bc}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left[\frac{c^2+ac+bc+ab}{ab\left(c^2+ac+bc\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{ab\left(c^2+bc+ac\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
\(\Rightarrow a+b=0\) hoặc \(b+c=0\) hoặc \(a+c=0\)
Nếu a + b = 0 thì c = 2014 thay vào M :
\(M=\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{a^{2013}+b^{2013}}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}=\frac{\left(a+b\right).A}{\left(ab\right)^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
\(=\frac{1}{c^{2013}}=\frac{1}{2014^{2013}}\) (A là một nhân tử trong phân tích a2013 + b2013 thành nhân tử)
Tương tự với các trường hợp còn lại.
Vậy \(M=\frac{1}{2014^{2013}}\)
cho a +b+c=2014 vÀ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=2014\)
Tinh M = \(\frac{1}{a^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
cho a+b+c=2014 va \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{5}{1007}\)
tinh gtbt S=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Tính: A= \(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}}{2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}}\)
Bài 2: Cho \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và b;d>0
Chứng Minh: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
Bài 2)
Ta có \(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow ad< bc\)
Xét \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow ab+ad< ab+bc\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )
Vậy \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}\) (1)
Xét \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
\(\Rightarrow d\left(a+c\right)< c\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow ad+cd< bc+cd\)
\(\Rightarrow ad< bc\) ( thỏa mãn đề bài )
Vậy \(\frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\) (đpcm)
bài1)tính: \(A=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2014}}{2013+\frac{2013}{2}+\frac{2012}{3}+...+\frac{1}{2014}}\)
bài 2) cho\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\) và\(b;d>0\)
CHỨNG MINH RẰNG: \(\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+d}< \frac{c}{d}\)
CÁC BẠN GIÚP CHI NHÉ!!!!! MINK SE LIKE CHO!!!
Giải pt :
\(a,\frac{1-x}{2013}=1+\frac{2-x}{2014}-\frac{x}{2014},\)
\(b,\frac{2-x}{2001}-1=\frac{1-x}{2002}-\frac{x}{2003}\)
\(c,\frac{x-a-b}{c}+\frac{x-b-c}{a}+\frac{x-a-c}{b}=3\)
\(c,\frac{x-a-b}{c}-1+\frac{x-b-c}{a}-1+\frac{x-a-c}{b}-1=0.\)
\(\frac{x-a-b-c}{c}+\frac{x-a-b-c}{a}+\frac{x-a-b-c}{b}=0\)
\(\left(x-a-b-c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=0\)
=>\(\orbr{\begin{cases}a+b+c=x\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\end{cases}}\)
Vậy.......
Cho các sô thực khác 0 thỏa mãn a+b+c = 2014 và \(\frac{1}{â}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2014}\)
- Tính \(M=\frac{1}{â^{2013}}+\frac{1}{b^{2013}}+\frac{1}{c^{2013}}\)
1. Cho \(\frac{a}{b+c}=\frac{6}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)
Tính P= \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
2. Cho a,b,c thuộc R : \(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}\)
Chứng minh : 4x(a-b)x(b-c)=(c-a)\(^2\)
sửa đề câu 1.
cho \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a+c}=\frac{c}{a+b}\)
...
giải
cộng 1 vào mỗi tỉ số ta được :
\(\frac{a}{b+c}+1=\frac{b}{a+c}+1=\frac{c}{a+b}+1\)
hay \(\frac{a+b+c}{b+c}=\frac{a+b+c}{a+c}=\frac{a+b+c}{a+b}\)
+) nếu a + b + c = 0 thì :
b + c = -a ; a + c = -b ; a + b = -c
\(\Rightarrow P=\frac{a}{-a}+\frac{b}{-b}+\frac{c}{-c}=-1+\left(-1\right)+\left(-1\right)=-3\)
+ ) nếu a + b + c \(\ne\)0 thì : a = b = c
\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)
Vậy ...
2) Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :
\(\frac{a}{2014}=\frac{b}{2015}=\frac{c}{2016}=\frac{a-b}{2014-2015}=\frac{b-c}{2015-2016}=\frac{c-a}{2016-2014}\)
hay \(\frac{a-b}{-1}=\frac{b-c}{-1}=\frac{c-a}{2}\)
\(\Rightarrow\left(\frac{a-b}{-1}\right).\left(\frac{b-c}{-1}\right)=\left(\frac{c-a}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right)=\frac{\left(c-a\right)^2}{4}\)
\(\Rightarrow4.\left(a-b\right).\left(b-c\right)=\left(c-a\right)^2\)
Vậy ...
a, cho day ti so bang nhau : \(\frac{2a+b+c+d}{a}=\frac{a+2b+c+d}{b}=\frac{a+b+2c+d}{c}=\frac{a+b+c+2d}{d}\)
tinh gia tri bieu thuc M: \(\frac{a+b}{c+d}+\frac{b+c}{d+a}+\frac{c+d}{a+b}+\frac{d+a}{b+c}\)
b,cho x= \(1+\frac{1}{2013}+\frac{1}{2013^2}+\frac{1}{2013^3}+....+\frac{1}{2013^{2013}}\)
tinh gia tri bieu thuc: S= (2012x+\(\frac{1}{2013^{2013}}\)) : 2013^2014