cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại I. Chứng minh rằng đường tròn đi qua ba điểm A, I, B và đường tròn đi qua ba điểm C, D , I tiếp xúc nhau tại I
Những câu hỏi liên quan
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một điểm $C$ đi động trên đường tròn đó. Vẽ đường tròn $(I)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc với đường kính $AB$ tại $D$, đường tròn này cắt $CA$ và $CB$ lần lượt tại các điểm thứ hai là $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm $M$, $I$, $N$ thẳng hàng.
b) IDperp MN.
c) Đường thẳng $CD$ đi qua một điểm cố định.
Đọc tiếp
Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ và một điểm $C$ đi động trên đường tròn đó. Vẽ đường tròn $(I)$ tiếp xúc với đường tròn $(O)$ tại $C$ và tiếp xúc với đường kính $AB$ tại $D$, đường tròn này cắt $CA$ và $CB$ lần lượt tại các điểm thứ hai là $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
a) Ba điểm $M$, $I$, $N$ thẳng hàng.
b) \(ID\perp MN\).
c) Đường thẳng $CD$ đi qua một điểm cố định.
Xét đg tròn tâm O đg kính AB tại D
Vì góc ACB là có nội tiếp chắn nửa đường tròn của (O)
=> góc ACB= 90 độ
Xét (I) có góc MCN là góc nội tiếp chắn cung MN
mà góc MCN= 90 độ
=> MN là đường kính của (I)
=> 3 điểm M,I,N thẳng hàng
b) vì Δ CIN cân tại I( IC=IN=R)
=> góc ICN= góc INC
lại có Δ COB cân tại O(OC=OB=R)
=> góc OCB= góc OBC
=> góc INC= góc OBC ( cùng = góc OCB)
mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của 2 đường thẳng MN và AB
=> MN // AB
lại có ID vuông góc với AB
=> ID vuông góc với MN( đpcm)
a. Xét (O) có \(\widehat{ACB}\) = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )
hay \(\widehat{MCN}=90^{0}\)
=> MN là đường kính của (I)
=> M,I,N thẳng hàng
b. Xét ΔICN cân tại I ( IC=IN )
\(\widehat{ICN}=\widehat{INC}\) (1)
Xét ΔOCB cân tại O ( OA=OB )
\(\widehat{OCB}=\widehat{OBC}\) (2)
Từ (1) và (2) => \(\widehat{OBC}=\widehat{INC}\)
Mà 2 góc này nằm ở vị trí đồng vị của MN và AB
=> MN // AB
Ta có
⊥MN
c.Xét (I) có ⊥MN
=> D là điểm chính giữa của cung MN
=> Cung DM = cung DN
=>\(\widehat{MCD}=\widehat{NCD}\) ( 2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau )
=> CD là tia pg\(\widehat{ACB}\)
Xét (O) có CD là tia pg\(\widehat{ACB}\)
=> Cung AE = cung BE
hay E là điểm chính giữa của cung AB
=> Điểm E cố định trên (O)
=> CD qua E cố định
Xem thêm câu trả lời
Cho đường tròn (O) có đường kính AB, điểm M thuộc (O) và khác A, B. Các tiếp tuyếncủa (O) tại A và M cắt nhau ở điểm C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳngAC tại C. Các đường thẳng CB và CO lần lượt cắt (I) tại điểm thứ hai E và F. Vẽ đườngkính CD của (I), giao điểm của hai đường thẳng DE và AB là K.a) Chứng minh tam giác OCD cân và tứ giác OEFK nội tiếp.b) Chứng minh hai tam giác OEF và CED đồng dạng.c) Đường thẳng đi qua hai điểm chung của (O) và (I) cắt đường thẳng AC tại điểm...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O) có đường kính AB, điểm M thuộc (O) và khác A, B. Các tiếp tuyến
của (O) tại A và M cắt nhau ở điểm C. Đường tròn (I) đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng
AC tại C. Các đường thẳng CB và CO lần lượt cắt (I) tại điểm thứ hai E và F. Vẽ đường
kính CD của (I), giao điểm của hai đường thẳng DE và AB là K.
a) Chứng minh tam giác OCD cân và tứ giác OEFK nội tiếp.
b) Chứng minh hai tam giác OEF và CED đồng dạng.
c) Đường thẳng đi qua hai điểm chung của (O) và (I) cắt đường thẳng AC tại điểm H.
Chứng minh các đường thẳng AF, CK và OH đồng quy.
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại Da, Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trênb, Đường tròn (I) cắt cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh M, I, N thẳng hàngc, Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa C
Đọc tiếp
Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (7) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D
a, Nêu cách vẽ đường tròn (I) nói trên
b, Đường tròn (I) cắt cắt CA, CB lần lượt tại các điểm thứ hai là M, N. Chứng minh M, I, N thẳng hàng
c, Chứng minh đường thẳng CD đi qua điểm chính giữa nửa đường tròn (O) không chứa C
a, Vẽ tiếp tuyến tại C cắt đường AB ở P. Phân giác C P B ^ cắt OC ở I. Vẽ đường tròn tâm I bán kính IC, đó là đường tròn cần tìm
b, Do A C B ^ = 90 0 nên M C N ^ = 90 0
=> MN là đường kính của (I) => ĐPCM
c, Chứng minh được MN//AB nên ID ^ MN => M D ⏜ = N D ⏜ hay CD là tia phân giác A C B ^ => Đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại I. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên AD và M là trung điểm của ID. Đường tròn đi qua ba điểm H, M, D cắt (O) tại N khác D. Gọi P là giao điểm của BC và HM. Chứng minh :
a. Tứ giác BCMH nội tiếp
b. Ba điểm P, N, D thẳng hàng
chỉ mình câu b thôi ( câu a ko cần trình bày cx đc)
Cho đường tròn (O). Đường thẳng (d) không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B theo thứ tự, C là điểm thuộc (d) ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K.a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn.b. Chứng minh CI.CP CK.CDc. Chứng minh IC là phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB.d. Cho ba điểm A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O). Đường thẳng (d) không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B theo thứ tự, C là điểm thuộc (d) ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K.
a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh CI.CP = CK.CD
c. Chứng minh IC là phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB.
d. Cho ba điểm A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A và B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn (O). Đường thẳng (d) không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B theo thứ tự, C là điểm thuộc (d) ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K.a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn.b. Chứng minh CI.CP CK.CDc. Chứng minh IC là phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB.d. Cho ba điểm A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A...
Đọc tiếp
Cho đường tròn (O). Đường thẳng (d) không đi qua tâm (O) cắt đường tròn tại hai điểm A và B theo thứ tự, C là điểm thuộc (d) ở ngoài đường tròn (O). Vẽ đường kính PQ vuông góc với dây AB tại D ( P thuộc cung lớn AB), Tia CP cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là I, AB cắt IQ tại K.
a. Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đường tròn.
b. Chứng minh CI.CP = CK.CD
c. Chứng minh IC là phân giác của góc ngoài ở đỉnh I của tam giác AIB.
d. Cho ba điểm A, B, C cố định. Đường tròn (O) thay đổi nhưng vẫn đi qua A và B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định, M là 1 điểm thuộc đường tròn (M khác A,B). Các tiếp tuyến của (O) tai A và M cắt nhau tại C. Đường tròn (I) qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại C, CD là đường kính của (I). Chứng minh
a, O,M,D thẳng hàng
b, Tam giác COD cân
c, Đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn đi qua 1 điểm cố định khi M di động trên (O)
Cho hình thang cân ABCD(AB//CD), điểm E nằm giữa C và D. Vẽ đường tròn (O) đi qua E tiếp xúc với AD tại D. Vẽ đường tròn (O') đi qua E và tiếp xúc với AC tại C. Gọi K là giao điểm thứ 2 của 2 đường tròn đó.
Chứng minh rằng :
a) 5 điểm A,B,C,D,K thuộc cùng 1 đường tròn
b)3 điểm K,E,B thẳng hàng
a) Chứng minh ABCD và ADKC là các tứ giác nội tiếp.
b) Từ câu a suy ra \(\widehat{CKB}=\widehat{CDB}\).Ta lại có
\(\widehat{CKE}=\widehat{ECA}=\widehat{CDB}\)
Suy ra\(\widehat{CKB}=\widehat{CKE}\), do đó K, E, B thẳng hàng.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AB//IE$.
c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
+ $E$ là trung điểm $MN$.
+ dfrac{1}{AB}+dfrac{1}{CD}dfrac{2}{MN}.
Đọc tiếp
Cho hình thang cân $ABCD$ ($AB > CD$; $AB//CD$) nội tiếp đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến với đường tròn $(O)$ tại $A$ và $D$ cắt nhau tại $I$. Gọi $E$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
a) Chứng minh tứ giác $AIDE$ nội tiếp.
b) Chứng minh $AB//IE$.
c) Đường thẳng $IE$ cắt cạnh bên $AD$ và $BC$ của hình thang tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
+ $E$ là trung điểm $MN$.
+ \(\dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}=\dfrac{2}{MN}\).
1. Ta có:
ED,EAED,EA là tiếp tuyến của (O)
→ED⊥OD,EA⊥OA⇒ˆADE=ˆOAE=90o→ED⊥OD,EA⊥OA⇒ADE^=OAE^=90o
EDOAEDOA có ˆADE+ˆOAE=180oADE^+OAE^=180o
⇒EDOA⇒EDOA nội tiếp đường tròn đường kính (OE)
→ˆDOA+ˆDEA=180o→DOA^+DEA^=180o
Mà ABCDABCD là hình thang cân
→ˆDMA=ˆDBA+ˆCAB=2ˆDBA=ˆDOA→DMA^=DBA^+CAB^=2DBA^=DOA^
→ˆDMA+ˆAED=180o→AEDM→DMA^+AED^=180o→AEDM nội tiếp được trong một đường tròn
2. Từ câu 1
→ˆEMA=ˆEDA=ˆDBA=ˆCAB→EMA^=EDA^=DBA^=CAB^
Vì EDED là tiếp tuyến của (O),ABCDABCD là hình thang cân
→EM//AB→EM//AB
3. Ta có:
EM//AB→HK//AB→HMAB=DMDB=CMCA=MKABEM//AB→HK//AB→HMAB=DMDB=CMCA=MKAB
→MH=MK→M→MH=MK→M là trung điểm HK
