thiếu đề bn ơi: a+b+c=?

HIHI viết thiếu nhưng mk ra rồi cảm ơn ạ !

uk, bn dùng UCT là ra mà

vẫn là =1

\(\frac{a^2}{1+b}=\frac{a^2\left(1+b\right)-a^2b}{1+b}=a^2-\frac{a^2b}{1+b}\ge a^2-\frac{a^2b}{2\sqrt{b}}=a^2-\frac{a^2\sqrt{b}}{2}\)  và tương tự

,,lkhtgtgdrru52545bg?

Ồ sorry bạn nhiều, chỗ đấy bị lỗi kĩ thuật rồi, mình sửa lại nhé :

\(M\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{ab+bc+ca}{2}\)

Lại có : \(\frac{ab+bc+ca}{2}\ge\frac{3\sqrt{a^3b^3c^3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Do đó : \(M\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Ta có : \(\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{a\left(b+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{a}\right)^2}{a\left(b+c\right)}\)

Tương tự : \(\frac{1}{b^3\left(a+c\right)}=\frac{\left(\frac{1}{b}\right)^2}{b\left(a+c\right)}\) , \(\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}=\frac{\left(\frac{1}{c}\right)^2}{c\left(a+b\right)}\)

Ta thấy : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(M=\frac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\frac{1}{b^2\left(a+c\right)}+\frac{1}{c^3\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)   \(\ge\frac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Vâỵ \(M_{min}=\frac{3}{2}\) tại \(a=b=c=1\)

giải thích cho mình với, sao \(\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)  vậy

\(S=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\)

\(S=\left(1+\frac{1}{1-b}\right)\left(1+\frac{1}{1-a}\right)\)

\(S=\frac{1-b+1}{1-b}\times\frac{1-a+1}{1-a}\)

\(S=\frac{\left(2-b\right)\left(2-a\right)}{\left(1-b\right)\left(1-a\right)}\)

\(S=\frac{4-2a-2b+ab}{1-a-b+ab}=\frac{4-2\left(a+b\right)+ab}{1-\left(a+b\right)+ab}\)

\(S=\frac{4-2+ab}{1-1+ab}=\frac{2+ab}{ab}=1+\frac{2}{ab}\)(*)

 từ \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\ge0\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow4ab\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)

\(\Leftrightarrow\frac{2}{ab}\ge8\)(1)

thay (1) vào (*) có

\(S=1+\frac{2}{ab}\ge1+8=9\)

vậy GTNN của \(S=9\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Cảm ơn bạn vì đã giúp đỡ mình! Thanks very much!