Chứng minh rằng: nếu x,y,z là ba số khác 0 và thỏa mãn
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)
Cho x, y, z là ba số thực khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}=\frac{3}{xyz}\)
Cho x, y, z khác 0 thỏa mãn x + y + z = 2019 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2019}\)
Chứng minh rằng có ít nhất một trong 3 số bằng 2019.
Cho ba số x , y , z khác 0 thỏa mãn $\frac{y+z-x}{x}$ = $\frac{z+x-y}{y}$ = $\frac{x+y-z}{z}$
Tính giá trị biểu thức P = ( 1+$\frac{x}{y}$ )( 1+$\frac{y}{z}$ )( 1+$\frac{z}{x}$ )
\(\dfrac{y+z-x}{x}=\dfrac{z+x-y}{y}=\dfrac{x+y-z}{z}\\ \Rightarrow\dfrac{y+z-x}{x}+2=\dfrac{z+x-y}{y}+2=\dfrac{x+y-z}{z}+2\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{x}=\dfrac{x+y+z}{y}=\dfrac{x+y+z}{z}\\ \Rightarrow x=y=z\\ \Rightarrow A=\left(1+1\right).\left(1+1\right).\left(1+1\right)=8\)
Cho ba số thực khác không x, y, z thỏa mãn:
\(\hept{\begin{cases}x.y.z=1\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< x+y+z\end{cases}}\)
Chứng minh rằng có đùng một trong ba số x, y, z lớn hơn 1.
Bài 1: Cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn:
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z
Chứng minh rằng có đúng một trong ba số x,y,z lớn hơn 1.
{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z{xyz=11x+1y+1z<x+y+z⇔{xyz=1xyz(1x+1y+1z)<x+y+z
⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇔{xyz=1xy+yz+zx<x+y+z⇔{xyz=1x+y+z−(xy+yz+zx)>0
Xét tích:
(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0(x−1)(y−1)(z−1)=xyz−(xy+yz+zx)+(x+y+z)−1=x+y+z−(xy+yz+zx)>0⇒(x−1)(y−1)(z−1)>0
Vậy trong 3 số x,y,zx,y,z có 1 số lớn hơn 1, 2 số nhỏ hơn 1 hoặc cả 3 số lớn hơn 1
Tuy nhiên, nếu x,y,z>1⇒xyz>1x,y,z>1⇒xyz>1. Mâu thuẫn với gt
Vậy ta có ĐPCM
Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn: x+y+z=2006 và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\)
Chứng minh rằng ít nhất trong ba số x,y,z bằng 2006
ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2006}\) (x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\)(vì x+y+z=2006)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x+y+z}-\frac{1}{z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{z-\left(x+y+z\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{-\left(x+y\right)}{\left(x+y+z\right).z}\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)xy=\left(x+y\right)\left(xz+yz+z^2\right)\) (vì x;y;z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(xy+yz+xz+z^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
=> x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc z+x=0
mà x+y+z=2006 nên
z=2006 hoặc x=2006 hoặc y=2006
=> đpcm
Cho x, y, z là ba số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn: \(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}.CMR:xyz=1;xyz=-1\)
\(x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{xy}\\y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\\z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{\left(xyz\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(xyz\right)^2}=1\Rightarrow xyz=\pm1\)(đpcm)
Chứng minh rằng nếu các số x, y, z khác 0 thỏa mãn \(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}\) thì x = y = z
Ta có :
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{yz}{y+z}=\frac{zx}{z+x}=\frac{xyz}{z\left(x+y\right)}=\frac{xyz}{x\left(y+z\right)}=\frac{xyz}{y\left(x+z\right)}\)
\(\Rightarrow z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)=y\left(z+x\right)\)
Từ \(z\left(x+y\right)=x\left(y+z\right)\Leftrightarrow xz+yz=xy+xz\Leftrightarrow yz=xy\Rightarrow x=z\) (1)
Từ \(x\left(y+z\right)=y\left(x+z\right)\Leftrightarrow xy+xz=xy+yz\Leftrightarrow xz=yz\Rightarrow x=y\) (2)
Từ \(z\left(x+y\right)=y\left(z+x\right)\Leftrightarrow xz+yz=yz+xy\Leftrightarrow xz=xy\Rightarrow z=y\) (3)
Từ (1) ; (2) ; (3) \(\Rightarrow x=y=z\) (đpcm)
Cho 3 số x,y,z (x #0, y#0, z#0, x+y+z # 0 ) thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\). Chứng minh trong ba số luôn tồn tại một cặp số đối nhau.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
Cho x, y là các số thực dương, z là số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\). Chứng minh \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Theo giả thiết, ta có:
theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)
Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)
Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)
ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng
Suy ra ĐPCM
Vì \(x>0,y>0\Rightarrow\frac{1}{x}>0;\frac{1}{y}>0\)
mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{1}{z}>0\Rightarrow z>0\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow yz+zx-xy=0\)
\(\Leftrightarrow-z^2=-z^2+yz+zx-xy=-\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)
\(\Leftrightarrow z^2=\left(x-z\right)\left(y-z\right)>0\)
\(\Rightarrow z=\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\left(z>0\right)\)
Lại có: \(x+y=x-z+y-z+2z\)
\(=\left(x-z\right)+\left(y-z\right)+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
Suy ra \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\) (ĐPCM)