1) Ta có : P và P+14 là số nguyên tố thì P là số lẻ 

nên P+17 là số chẵn suy ra P+17 là hợp số.

làm sao thì tự làm đi

vi n la so nguyen to lon hon 3 nen n khong chia het cho 3

=> n= 3k+1 hoac 3k+2(k thuoc N*)

 - Xet n=3k+1 thi n²+2006 =(3k+1)²+2006

                                       =9k²+1+2006

                                       =9k²+2007

                                       =3(3k²+669)

=>n²+2006 co it nhat 3 uoc la 1 ;3va chinh no nen n²+2006 la hop so           (1)

- Xet n=3k+2 thi n²+2006=(3k+2)²+2006

                                     =9k²+4+2006

                                     = 9k²+2010

                                     = 3(3k²+670)

=>n² co it nhat 3 uoc la 1;3 va chinh no  nen n²+2006 la hop so              (2)

tu (1) va (2) => n²+2006 la hop so 

n la so nguyen to lon hon 3

- neu n=5 thi n²+2006=2031(la so nguyen to.loai)

- neu n= 7 thi n²+2006=2055(la hop so ,chon)

- neu n>7 thi n khong chia het cho 7 

=>n= 7k+1; 7k+2 ; 7k+3 ; 7k+4 ; 7k+4 ; 7k+5 hoac 7k+6

- xet n=7k+1 thi n²+2006=(7k+1)²+2006 

                                    =49k²+1+2006

                                    =49k²+2007

vi 49k² va 2007 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to (loai)

 - xet n=7k+2 thi n²+2006=(7k+2)²+2006

                                     = 49k²+4+2006

                                    = 49k²+2010

vi 49k² va 2010 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to (loai)

- xet n=7k+3 thi n²+2006= (7k+3)²+2006

                                    = 49k²+9+2006

                                    = 49k²+2015

vi 49k² va 2015 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+4 thi n²+2006=(7k+4)²+2006

                                    = 49k² + 16+2006 

                                   = 49k²+2022

vi 49k² va 2022 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+5 thi n²+2006 =(7k+5)²+2006

                                     = 49k²+25+2006

                                     = 49k² +2031

vi 49k² va 2031 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

- xet n=7k+6 thi n²+2006 =(7k+6)²+2006

                                     =49k²+36+2006

                                     =49k²+2042

vi 49k² va 2042 khong cung chia het cho so nao khac 1 nen n²+2006 la so nguyen to(loai)

=>n>7 bi loai 

=> n=7

vay n=7 va n²+2006 la hop so

It's not easy to do. 

p là số nguyên tố => p > 1
p=2 => p+20 =22 => mâu thuẫn đề bài
p=3 => p+20=23 ; p+40=43 dều là số nguyên tố => p + 80 = 83 cũng là số nguyên tố
p> 3 => p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 ( p khác 3k vì 3k chia hết cho 3 không nguyên tố )
với p = 3k +1 => p + 20 = 3k + 21 = 3 (k +7) chia hết cho 3 mâu thuẫn đề bài 
với p = 3k +2 => p + 40 = 3k + 42 = 3(k + 14) chia hết cho 3 mâu thuẫn đề bài 
TỪ đó ta có p ; p+20 ; p+40 nguyên tố khi và chi khi p=3 lúc đó p+80 là số nguyên tố

P là số nguyên tố => P>1

xét P là số chẵn :

=> P = 2 mà 2+20=22 là hợp số  

=> Ko thỏa mãn

xét P là số lẻ :

 TH1: P=3 thì P+20=3 ; P+40=43

=> Thỏa mãn

 TH2: P>3 thì P thuộc 1 trong 2 dạng:

 3k+1 và 3k+2 (k thuộc N)

 Nếu P= 3k+1 thì : P+20=(3k+1)+20=3k+21=3(k+7) 

 Vì số  nguyên tố có và chỉ có tích là 1 và chính nó  Mà 3>1;(k+7)>hoặc=7 và >1 nên 3(k+7) là hợp số

=> Ko thỏa mãn

P= 3k+2 thì : P+40=(3k+2)+40=3k+42=3(k+14) Vì số  nguyên tố có và chỉ có tích là 1 và chính nó 

Mà 3>1;(k+14)>hoặc=14 và >1 nên 3(k+14) là hợp số

=> Ko thỏa  mãn

=> P=3

Mà 3+80=83;83 là  một số nguyên tố

=>P+80 là số nguyên tố

Xét các trường hợp:

-Nếu p = 2, khi đó p + 20 = 22 không phải số nguyên tố, loại

-Nếu p = 3 thì p + 20 = 23 ; p + 40 = 43 ; p + 80 = 83 đều là các số nguyên tố.

-Nếu p > 3 thì p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

   +) Với p = 3k + 1 thì p + 20 = (3k + 1) + 20 = 3k + 21 = 3k + 3.7 = 3.(k + 7), số này lớn hơn 3 mà chia hết cho 3 nên không phải số nguyên tố, loại

   +) Với p = 3k + 2 thì p + 40 = (3k + 2) + 40 = 3k + 42 = 3k + 3.14 = 3.(k + 14), số này lớn hơn 3 mà chia hết cho 3 nên không phải số nguyên tố, loại.

  Vậy suy ra điều phải chứng minh với p = 3

+)Nếu p=3

=> p+20=3+20=23 là số nguyên tố

=> p+40=3+40=43 là số nguyên tố

=> p+80=3+80=83 là số nguyên tố

=> p=3 thõa mãn

+)Nếu p khác 3  =>p=3k+1 hoặc p=3k+2

-Với p=3k+1   => p+20=3k+1+20=3k+21 chia hết cho 3

do p+20>3 => p+20 là hợp số

-Với p=3k+2   =>p+40=3k+2+40=3k+42 chia hết cho 3

do p+40>3 => p+40 là hợp số

=> p khác 3 không thõa mãn

                           Vậy p;p+20;p+40 là số nguyên tố thì p+80 cũng là số nguyên tố.

+)Nếu p=3

=> p+20=3+20=23 là số nguyên tố

=> p+40=3+40=43 là số nguyên tố

=> p+80=3+80=83 là số nguyên tố

=> p=3 thõa mãn

+)Nếu p khác 3  =>p=3k+1 hoặc p=3k+2

-Với p=3k+1   => p+20=3k+1+20=3k+21 chia hết cho 3

do p+20>3 => p+20 là hợp số

-Với p=3k+2   =>p+40=3k+2+40=3k+42 chia hết cho 3

do p+40>3 => p+40 là hợp số

=> p khác 3 không thõa mãn

                           Vậy p;p+20;p+40 là số nguyên tố thì p+80 cũng là số nguyên tố.

Xét p = 2 thì p+10 = 2+10 = 12 là số nguyên tố  [ loại ]

Xét  p = 3 thì p+10 ; p+20 đều là số nguyên tố [ thỏa mãn ]

Xét p> 3 thì có 2 dạng 3k+1 và 3k+2

 Nếu p = 3k+1 thì p+20 = 3k+1+20 = 3k+21 chia hết cho 3 là hợp số mà p > hoặc = 3, =>  p=3k+1 [ loại ]

  Nếu p = 3k+2 thì p+10 = 3k+2+10 = 3k+12 chia hết cho 3 là hợp số  [ loại ] 

 =>  Trường hợp p>3 loại

   Vậy p = 3 thỏa mãn

đem p chia cho 3 xảy ra 3 trường hợp về số dư: dư 0 hoặc dư 1 hoặc dư 2

nếu p chia 3 dư 0 =>pchia hết cho 3mà p lànguyên tố =. p=3

khi đó p+10=3+10=13 (t/m)       p+20=3+20=23 (t/m)

nếu p chia 3 dư 1 =>p=3k+1 (k thuộc N*)

khi đó p+20=3k+1+20=3k+21=3(k+7) chia hết cho 3 mà p+20>3 =>p+20 là hợp số

nếu p chia 3 dư 2 => p=3k+2 (k thuộc N*)

khi đó p+10=3k+2+10=3k+12=3(k+4) chia hết cho 3 mà p+10>3 => p+10 là hợp số 

vậy p=3 thì 2 số p+10 và p+20 cũng là số nguyên tố