+ Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4, là hợp số, loại

+ Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13, là số nguyên tố, chọn

+ Với p > 3, do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3 => p = 3k + 1 hhoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*)

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 2 => p + 2 là hợp số, loại

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 10 => p + 10 là hợp số, loại

Vậy p = 3

+ Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4, là hợp số, loại

+ Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13, là số nguyên tố, chọn

+ Với p > 3, do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3 => p = 3k + 1 hhoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*)

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 2 => p + 2 là hợp số, loại

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 10 => p + 10 là hợp số, loại

Vậy p = 3

+ Với p = 2 thì p + 2 = 2 + 2 = 4, là hợp số, loại

+ Với p = 3 thì p + 2 = 3 + 2 = 5, p + 10 = 3 + 10 = 13, là số nguyên tố, chọn

+ Với p > 3, do p nguyên tố nên p không chia hết cho 3 => p = 3k + 1 hhoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*)

Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 2 => p + 2 là hợp số, loại

Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3k + 2 + 10 = 3k + 12, chia hết cho 3

Mà 1 < 3 < p + 10 => p + 10 là hợp số, loại

Vậy p = 3

1.

\(x^4+4y^4=x^4+4x^2y^2+y^4-4x^2y^2=\left(x^2+2y^2\right)^2-\left(2xy\right)^2\)

\(=\left(x^2-2xy+2y^2\right)\left(x^2+2xy+2y^2\right)\)

Do x, y nguyên dương nên số đã cho là SNT khi:

\(x^2-2xy+2y^2=1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2=1\)

\(y\in Z^+\Rightarrow y\ge1\Rightarrow\left(x-y\right)^2+y^2\ge1\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn

2. \(N=n^4+4^n\)

- Với n chẵn hiển nhiên N là hợp số

- Với \(n\) lẻ: \(\Rightarrow n=2k+1\)

\(N=n^4+4^n=n^4+4^{2k+1}=n^4+4.4^{2k}+4n^2.4^k-n^2.4^{k+1}\)

\(=\left(n^2+2.4^k\right)^2-\left(n.2^{k+1}\right)^2=\left(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\right)\left(n^2+2.4^k+n.2^{k+1}\right)\)

Mặt khác:

\(n^2+2.4^k-n.2^{k+1}\ge2\sqrt{2n^2.4^k}-n.2^{k+1}=2\sqrt{2}n.2^k-n.2^{k+1}\)

\(=n.2^{k+1}\left(\sqrt{2}-1\right)\ge2\left(\sqrt{2}-1\right)>1\)

\(\Rightarrow N\) là tích của 2 số dương lớn hơn 1

\(\Rightarrow\) N là hợp số

Bài 4 chắc không có cách "đại số" nào (tức là dựa vào lý luận chia hết tổng quát) để giải. Mình nghĩ vậy (có lẽ có, nhưng mình ko biết).

Chắc chỉ sáng lọc và loại trừ theo quy tắc kiểu: do đổi vị trí bất kì đều là SNT nên không thể chứa các chữ số chẵn và chữ số 5, như vậy số đó chỉ có thể chứa các chữ số 1,3,7,9

Nó cũng không thể chỉ chứa các chữ số  3 và 9 (sẽ chia hết cho 3)

Từ đó sàng lọc được các số: 113 (và các số đổi vị trí), 337 (và các số đổi vị trí)

Vì n là số nguyên tố nên n \(\ge\) 2

Khi p=2 thì n+10= 12 => Hợp số (loại)

      p=2 thì n+12= 14 => Hợp số (loại)

Khi p=3 thì n+10= 13 => Số nguyên tố (Nhận)

      p=3 thì n+12= 15 => Số nguyên tố (Nhận)

Khi p>3 thì p có dạng 3k+1;3k+2

Với p=3k+1 thì n+12=3k+...

Bạn xem coi đề có sai không nha tại vì giải tới đây ko ra rồi

Đúng cho mình sau đó mih sau đố mình giải cho thề

2) Ta có : a = 10ⁿ + 8 

Vì 10ⁿ = 2ⁿ.5ⁿ nên chia hết cho 2

Mà 8 chia hết cho 2 

Nên : a = 10ⁿ + 8 chia hết cho 2

Ta có : a = 10ⁿ + 8 = 10......08 [(n + 1) số 0]

=> 1 + 0 + 0 + .... + 0 + 8 (n + 1 số 0 ) 

= 9 chia hết cho 3;9 

1) đem chia p cho 2 xảy ra 2 trường hợp về số dư : dư 0 hoặc dư 1

+) nếu \(p\) chia cho 2 dư 0 \(\Rightarrow\) \(p⋮2\) ; mà \(p\) là số nguyên tố \(\Rightarrow p=2\)

khi đó \(p+3=2+3=5\) ( thỏa mãn )

           \(p+5=2+5=7\) ( thỏa mãn )

            \(p+11=2+11=13\) ( thỏa mãn )

+) nếu \(p\) chia cho 2 dư 1\(\Rightarrow\) \(p=2k+1\) ( \(k\in\) N^* )

khi đó \(p+11=2k+1+11=2k+12=2\left(k+6\right)⋮2\)

mà \(p+11>2\Rightarrow p+11\) là hợp số ( loại )

vậy \(p=2\)

1)

xét p=2k+1

thì p+3=2k+1+3=2k+4(ko thỏa mãn)

     p+5=2k+1+5=2k+6(ko thỏa mãn)

     p+11=2k+1+11=2k+12(ko thỏa mãn)

=>P không phải là số lẻ

xét p=2k

thì p+3=2k+3(thỏa mãn )

     p+5=2k+5(thỏa mãn)

     p+11=2k+11(thỏa mãn)

=>P là số chẵn 

vì P là số nguyên tố mà 2 là số nguyên tố chẵn duy nhất 

=>p=2 ;xét p=2

thì p+3=2+3=5

    p+5 =2+5=7         (tất cả đều là số nguyên tố )

    p+11=2+11=13

vậy p=2

làm lời giải ra cho mình