Chứng minh:
\(\sqrt{1+2+............+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+\left(n-2\right)+..........+2+1}=n\) =n
Với n thuộc \(ℕ^∗\)
Những câu hỏi liên quan
29 tháng 8 2016 lúc 21:19
Chứng minh :\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\left(n\in Z^+\right)\)
Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)
Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)
\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)
Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
\(n\in Z^+\)nên n2 < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 <=> n2 < n(n + 2) < (n + 1)2 => n3 < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)3
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)
=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)
\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)
Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.
Đúng 0
Bình luận (0)
Sorry ! n2 < n(n + 2) nên n3 < n(n + 1)(n + 2) (vì n < n + 1)
Đúng 0
Bình luận (0)
Với n thuộc N* chứng minh
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\)
CM : \(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\)
Có : \(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+2\right)-n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\)\(=\frac{1}{2}\left[\frac{n+2}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\)
\(\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{n\left(n+1\right)}-\frac{1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\right]\) đpcm
Đúng 0
Bình luận (1)
Chứng minh: \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\) với \(n\ge2,n\in N\)
Ta có: \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\)
\(=\dfrac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}< \dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}=\dfrac{\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}\)
\(=\dfrac{n-n+1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}>\dfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}=\dfrac{1}{2\sqrt{n}}\)
\(\Rightarrow2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)>\dfrac{1}{\sqrt{n}}\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
Đúng 3
Bình luận (0)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \dfrac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\dfrac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\RightarrowĐpcm\)
Đúng 2
Bình luận (0)
CMR:\(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)\()\)(n\(\in\)\(ℕ^∗\))
Từ đó áp dung chứng minh: S=1+\(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+......+\frac{1}{\sqrt{100}}\)
CMR:18<S<19
Quy đồng hết lên
CHú yys : nên c/m từng cái một thì hơn
/
Đúng 0
Bình luận (0)
TRẢ LƯƠNG BẰNG…
Có 2 anh bạn lâu lâu mới gặp nhau:
- Dạo này sao trông mày mập ú vậy?
- À! Có gì đâu, vợ tao làm ở nhà máy sản xuất bột mì, cơ quan trả lương bằng sản phẩm nên mập vậy. Thế còn mày, sao còm nhom vậy?
- Vợ tao cũng vậy, nó cũng được trả lương bằng sản phẩm nhưng mà nó làm tại nhà máy sản xuất …” bcs” 
Đúng 0
Bình luận (0)
Xem thêm câu trả lời
28 tháng 10 2015 lúc 21:37
Chứng minh:
\(\sqrt{1^3+2^3+3^3+...+\left(n-2\right)^3+\left(n-1\right)^3+n^3}=1+2+3+...+\left(n-2\right)+\left(n-1\right)+n\)
Chứng minh:\(\left(1-\frac{2}{6}\right)\left(1-\frac{2}{12}\right)\left(1-\frac{2}{20}\right)....\left(1-\frac{2}{n\left(n+1\right)}\right)>\frac{1}{3}\)
n thuộc n sao
hi !! ta cũng đang hỏi câu này -_-
Đúng 0
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, p ta có :
\(\dfrac{1}{\left(1+1\right)\sqrt[p]{1}}+\dfrac{1}{\left(2+1\right)\sqrt[p]{2}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt[p]{n}}\) < p
Chứng minh rằng :
\(a,\sqrt{10}-\sqrt{2}=2.\sqrt{3-\sqrt{5}}\)b
\(b,\left(\sqrt{10}-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)\) là một số tự nhiên
c CMR với n thuộc N thì \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)^2=\sqrt{\left(2n+1\right)^2-1}\)