Ta có n⁵ +1999n +2017 = n⁵ - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z )

Ta thấy: n⁵ +1999n +2017 = n⁵ - n+2000n + 2015 +2 ( n E Z ) chia cho 5 dư 2

 vì không có số chính phương nào chia 5 dư 2 

 Vậy  n⁵ +1999n +2017 ( n E Z ) không phải là số chính phương
 

Theo mình nghĩ bài toán này phải là CMN n x n + (4b + 2)  không phải là một số chính phương thì mới đúng ( 4b + 2 chỉ là dạng của cái số cộng thêm với b là số tự nhiên)
Nếu như vậy . ta có 
Giả sử n x n + 2017 là số chính phương nên
n x n + (4b + 2) = a x a ( a là số tự nhiên ) 
4b + 2 = (a x a) / (n x n)
4b + 2=  (a - n ) x (a + n ) 
Nếu a lẻ ; n chẵn và ngược lại thì ( a - n ) x ( a + n )bằng một số lẻ nhân với một số lẻ nên có kết quả là một số lẻ ( loại vì 4b + 2 là một số chẵn )
 Nếu a chẵn ; n chẵn thì (a - n ) x (a + n ) là một số chẵn nhân với một số chẵn nên kết quả là một số chẵn 
Vì số chẵn nhân với số chẵn nên lúc nào cũng chia hết cho 4 mà ( 4b + 2 ) không chia hết cho 4 nên n x n + (4b + 2) không thể có kết quả bằng a x a 
Vậy với n là số tự nhiên thì n x n + (4b + 2)  không phải là một số chính phương

Theo mình nghĩ bài toán này phải là CMN n x n + (4b + 2)  không phải là một số chính phương thì mới đúng ( 4b + 2 chỉ là dạng của cái số cộng thêm với b là số tự nhiên)
Nếu như vậy . ta có 
Giả sử n x n + 2017 là số chính phương nên
n x n + (4b + 2) = a x a ( a là số tự nhiên ) 
4b + 2 = (a x a) / (n x n)
4b + 2=  (a - n ) x (a + n ) 
Nếu a lẻ ; n chẵn và ngược lại thì ( a - n ) x ( a + n )bằng một số lẻ nhân với một số lẻ nên có kết quả là một số lẻ ( loại vì 4b + 2 là một số chẵn )
 Nếu a chẵn ; n chẵn thì (a - n ) x (a + n ) là một số chẵn nhân với một số chẵn nên kết quả là một số chẵn 
Vì số chẵn nhân với số chẵn nên lúc nào cũng chia hết cho 4 mà ( 4b + 2 ) không chia hết cho 4 nên n x n + (4b + 2) không thể có kết quả bằng a x a 
Vậy với n là số tự nhiên thì n x n + (4b + 2)  không phải là một số chính phương

Vì n nguyên dương nên ta có \(n^2< n^2+n+1< n^2+2n+1\)

hay \(n^2< n^2+n+1< \left(n+1\right)^2\)

Mà n và (n+1) là hai số chính phương liên tiếp và \(n^2+n+1\)là số kẹp giữa  hai số ấy nên không thể là số chính phương.

 Với n nguyên dương thì 

n² < n² + n < n² + 2n

<=> n² < n² + n + 1 < n² + 2n + 1

<=> n² < n² + n + 1 < ( n + 1 )²

Vì n² + n + 1 kẹp giữa 2 SCP liên tiếp nên n² + n + 1 không phải là SCP ( đpcm )

Đặt \(n^3-n+2=a^2\)

<=>  \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2=a^2\)

Vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\equiv0\left(mod3\right)\)

=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2\equiv2\left(mod3\right)\)

Mà   1 số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

=>  \(n^3-n+2\) không thể là số chính phương