Giả sử P(x) có nghiệm a nguyên, P(x)=(x−a).Q(x);Q(x)∈Z[x]
thì P(1)=(1−a)Q(1);P(0)=(0−1)Q(0);
Chú ý (1−a) và (0−a) có một số chẵn, dẫn đến P(1), P(0) không thể cùng lẻ, dẫn đến không có nghiệm nguyên.

Giả sử P(x) có nghiệm a nguyên, P(x)=(x−a).Q(x);Q(x)∈Z[x]
thì P(1)=(1−a)Q(1);P(0)=(0−1)Q(0);
Chú ý (1−a) và (0−a) có một số chẵn, dẫn đến P(1), P(0) không thể cùng lẻ, dẫn đến không có nghiệm nguyên.

Câu hỏi của Lê Minh Đức - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em có thể tham khảo bài tương tự tại đây nhé.

Giả sử \(f\left(x\right)\)có nghiệm nguyên là \(a\).

Khi đó \(f\left(x\right)=\left(x-a\right)g\left(x\right)\)(với \(g\left(x\right)\)là đa thức với các hệ số nguyên) 

\(f\left(1\right)=\left(1-a\right)g\left(1\right)\)là số lẻ nên \(1-a\)là số lẻ suy ra \(a\)chẵn. 

\(f\left(2\right)=\left(2-a\right)g\left(2\right)\)là số lẻ nên \(2-a\)là số lẻ suy ra \(a\)lẻ. 

Mâu thuẫn. 

Do đó \(f\left(x\right)\)không có nghiệm nguyên. 

mn help plssss

Lời giải:

$P(0)=d$ lẻ

$P(1)=a+b+c+d$ lẻ, mà $d$ lẻ nên $a+b+c$ chẵn. Do đó 3 số này có thể nhận giá trị lẻ, lẻ, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn.

Giả sử $P(x)$ có nghiệm nguyên $m$. Khi đó:

$P(m)=am^3+bm^2+cm+d$

Nếu $m$ chẵn thì $am^3+bm^2+cm+d$ lẻ cho $d$ lẻ nên $P(m)\neq 0$

Nếu $m$ lẻ: Do $a,b,c$ nhận giá trị lẻ, chẵn, chẵn hoặc chẵn, chẵn, chẵn nên $am^3+bm^2+cm$ đều chẵn. Kéo theo $P(m)=am^3+bm^2+cm+d$ lẻ

$\Rightarrow P(m)\neq 0$

Tóm lại $P(m)\neq 0$

$\Rightarrow x=m$ không là nghiệm của $P(x)$. Do đó điều giả sử là sai.

 Ta có đpcm.

===
thế này không hiểu potay.com
f(x)=(x-a).q(x)
f(0)=(0-a).q(0) "{chỗ nào có x thay bằng 0"}
0-a=-a
=>f(0)=-a.Q(0)
tượng f(1)
===
f(0) lẻ=>(-a).q(0) lẻ
nghĩa là (a lẻ và q(0) cũng phải lẻ)
" một số lẻ không thể là tích của một số chẵn được)
tương tự
f(1) lẻ==>(1-a) & q(1) cùng lẻ

====
a & (1-a) hai số nguyên liên tiếp =>không thể cùng lẻ

Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có: 
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ; 
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ 
và do đó, với x là số lẻ ta có: 
a.xⁿ + b.x^(x-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b 
Tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có: 
a.xⁿ + b.x^(x-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c 
- - - - - - 
Đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(x-1) + ...+ c.x + d 
có f(0) = d lẻ (do giả thiết) 
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp: 
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ) 
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn) 
=> f(x) lẻ 

Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên 
=> f(x) không có nghiệm nguyên 

Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có: 
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ; 
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ 
và do đó, với x là số lẻ ta có: 
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b 
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có: 
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c 
- - - - - - 
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d 
có f(0) = d lẻ (do giả thiết) 
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn 

với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp: 
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ) 
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn) 
=> f(x) lẻ 

Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên 
=> f(x) không có nghiệm nguyên 
~~~~~~~~~~~~

Nhận xét: với a, b nguyên , n nguyên dương ta có: 
aⁿ và a cùng tính chẳn, lẻ ; 
với x là số lẻ thì a.xⁿ và a cùng tính chẳn lẻ 
và do đó, với x là số lẻ ta có: 
a.xⁿ + b.x^(n-1) cùng tính chẳn lẻ với a+b 
tổng quát: với x là số nguyên lẻ, n nguyên dương, a, b, c,... nguyên ta có: 
a.xⁿ + b.x^(n-1) +...+ cx cùng tính chẳn lẻ với a+b+..+c 
- - - - - - 
đặt: f(x) = a.xⁿ + b.x^(n-1) + ...+ c.x + d 
có f(0) = d lẻ (do giả thiết) 
f(1) = a+b+..+ c +d lẻ => a+b+..+c chẳn 

với x nguyên tuỳ ý ta có hai trường hợp: 
nếu x chẳn thì: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn => f(x) lẻ (do d lẻ) 
nếu x lẻ thì từ nhận xét trên có: a.xⁿ + b.x^(n-1) +..+cx chẳn (do a+b+..+c chẳn) 
=> f(x) lẻ 

Tóm lại có f(x) là số lẻ với mọi x nguyên => f(x) # 0 với mọi x nguyên 
=> f(x) không có nghiệm nguyên 
~~~~~~~~~~~~