Đặt \(-0,7\cdot\left(43^{43}-17^{17}\right)=-\frac{7}{10}\cdot\left(43^{43}-17^{17}\right)=A\)

=> A là số nguyên khi và chỉ khi \(43^{43}-17^{17}⋮10\)

Ta có: 43² tận cùng là 9, chia 10 dư -1

      =>43⁴² chia 10 dư 1

      => 43⁴³ chia 10 dư -1

Chứng mình tương tự ta có 17¹⁷ chia 10 dư -1

=> 43⁴³-17¹⁷ chia 10 dư: (-1)-(-1)=0

=> 43⁴³-17¹⁷ chia hết cho 10.

Vậy A là số nguyên
 

−0,7.(43^43−17^17)
Ta có : 43^1 = 43 (...3)
43^2 = 1849 (...9)
43^3 = 79507 (...7)
43^4 = 3418801 (...1)
43^5 = (...3) (đã lặp lại chu kì chu kì => 3,9,7,1 tương ứng với các số mũ chia 4 dư 1,2,3,4)
Số mũ 43 chia 4 dư 3 43^43=(...7)
CM hoàn toàn tương tự : 17^17=(...7)
43^43−17^17=(...0)
-7/10 nhân với 1 số tận cùng là 0 ( > 0) cho ta 1 số chia hết cho 7)
Số đó là số nguyên vì nó chia hết cho 7

\(N=0,7.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

\(=\frac{7}{10}.\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)\)

N là số tự nhiên thì ta cần chứng minh \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

Ta có: \(2007^{2009}=2007^{4.502}.2007=\overline{...1}.2007=\overline{...7}\)

và \(2013^{1999}=2013^{4.499}.2013^3=\overline{...1}.\overline{...7}=\overline{...7}\)

Do đó \(2007^{2009}\)\(-2013^{1999}=\)\(\overline{...7}-\overline{...7}=\overline{...0}\)

Vậy \(\left(2007^{2009}-2013^{1999}\right)⋮10\)

=> đpcm

Ta có:-0,7(43⁴³-17¹⁷)=[-7(43⁴³-17¹⁷)]:10

*43⁴³=43³.43⁴⁰=43³.(43⁴)¹⁰=(...7).(...1)¹⁰=(...7).(...1)=...7 (1)

*17¹⁷=17¹⁶.17=(17⁴)⁴.17=(...1)⁴.17=(....1).17=....7 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 43⁴³-17¹⁷=(...7)-(...7)=.....0 chia hết cho 10

Vậy -0,7(43⁴³-17¹⁷) là 1 số nguyên