b) đk: \(x>2012;y>2013\)

pt \(\frac{16}{\sqrt{x-2012}}+\sqrt{x-2012}+\frac{1}{\sqrt{y-2013}}+\sqrt{y-2013}=10\)

\(VT\ge2\sqrt{\frac{16}{\sqrt{x-2012}}.\sqrt{x-2012}}+2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{y-2013}}.\sqrt{y-2013}}=8+2=10\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x-2012=16\\y-2013=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2028\\y=2014\end{cases}}\)

Điều kiện: \(x\ge2012;y\ge2013;z\ge2014\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{\sqrt{x-2012}-1}{x-2012}=\dfrac{\sqrt{4\left(x-2012\right)}-2}{2\left(x-2012\right)}\le\dfrac{\dfrac{4+x-2012}{2}-2}{2\left(x-2012\right)}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{\sqrt{y-2013}-1}{y-2013}=\dfrac{\sqrt{4\left(y-2013\right)}-2}{2\left(y-2013\right)}\le\dfrac{\dfrac{4+y-2013}{2}-2}{2\left(y-2013\right)}=\dfrac{1}{4}\\\dfrac{\sqrt{z-2014}-1}{z-2014}=\dfrac{\sqrt{4\left(z-2014\right)}-2}{2\left(z-2014\right)}\le\dfrac{\dfrac{4+z-2014}{2}-2}{2\left(z-2014\right)}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)

Cộng vế theo vế, ta được:

\(\dfrac{\sqrt{x-2012}-1}{x-2012}+\dfrac{\sqrt{y-2013}-1}{y-2013}+\dfrac{\sqrt{z-2014}-1}{z-2014}\le\dfrac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=2016;y=2017;z=2018\)

Vậy....

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge2011\\y\ge2012\\z\ge2013\end{matrix}\right.\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a=\sqrt{x-2011}\ge0\\b=\sqrt{y-2012}\ge0\\c=\sqrt{z-2013}\ge0\end{matrix}\right.\) ta có :

\(\frac{a-1}{a^2}+\frac{b-1}{b^2}+\frac{c-1}{c^2}=\frac{3}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{1}{a}+\frac{1}{4}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{1}{4}+\frac{1}{c^2}-\frac{1}{c}+\frac{1}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{b}-\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{2}\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow a=b=c=2\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2015\\y=2016\\z=2017\end{matrix}\right.\)

- Bạn làm được bài này chưa bạn?

xin bài này , 5 phút sau làm 

đặt \(\hept{\begin{cases}A=3x-2y-2\sqrt{y+2012}+1=0\\B=3y-2z-.....\\C=3z-2x.....\end{cases}}.\)

vì a=b=c=0 

Suy ra A+B+C=0

A+B+c= \(\left(x\right)+\left(y\right)+\left(z\right)-2\sqrt{y+2012}-2\sqrt{z-2013}-2\sqrt{x-2}\) " rút gọn làm tắt "

đến đây ta thêm  3-3 , 2012-2012 , 2013-2013 , 2-2 vào biểu thức rồi dùng hằng đẳng thức ta được

\(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2012}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2013}-1\right)^2+2013-2012+2-3=0\)

\(\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y+2012}-1\right)^2+\left(\sqrt{z-2013}-1\right)^2=0\) rút gọn

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y+2012}=1\\\sqrt{z-2013}=1\end{cases}}\)

thay vào P ta được 

\(P=\left(3-4\right)^{2011}+\left(-2011+2012\right)^{2012}+\left(2014-2013\right)^{2013}\)

\(P=-1+1+1=1\)

Ta bắt đầu bằng việc giả sử một giá trị ban đầu cho x, y và z, sau đó lặp lại quá trình tính toán cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn.

Ví dụ, giả sử ta chọn x = 1, y = 1 và z = 1 làm giá trị ban đầu. Sau đó, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính toán giá trị mới cho x, y và z bằng cách sử dụng các phương trình đã cho: x_new = (2y - 1) / sqrt(y) y_new = (2z - 1) / sqrt(z) z_new = (2*x - 1) / sqrt(x)

Bước 2: Kiểm tra độ chính xác của giá trị mới so với giá trị cũ. Nếu đạt được độ chính xác mong muốn, ta dừng lại. Nếu không, ta lặp lại bước 1 với giá trị mới của x, y và z.

Tiếp tục lặp lại quá trình trên cho đến khi đạt được độ chính xác mong muốn. Khi đó, ta sẽ có giá trị x, y và z tương ứng là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

a, Áp dụng bất đẳng thức Holder cho 2 bộ số \(\left(x,y,z\right)\left(3;3;3\right)\) ta có:

\(\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)\ge\left(\sqrt[3]{xyz}+\sqrt[3]{3.3.3}\right)^3=\left(\sqrt[3]{xyz}+3\right)\)

\(\sqrt[3]{\left(x+3\right)\left(y+3\right)\left(z+3\right)}\ge3+\sqrt[3]{xyz}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=3\sqrt{x}=\sqrt{2017}\)

\(\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2017}}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)=\left(\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3},\frac{\sqrt{2017}}{3}\right)\)

P/s: Không chắc cho lắm ạ.

Vũ Minh Tuấn, Hoàng Tử Hà, đề bài khó wá, Lê Gia Bảo, Aki Tsuki, Nguyễn Việt Lâm, Lê Thị Thục Hiền,

Học 24h, @tth_new, @Akai Haruma, Nguyễn Trúc Giang, Băng Băng 2k6

Help meeee, please!

thanks nhiều

Lời giải:

Từ \(x+y+z=xyz\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}=1\)

Đặt \((\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c})=(x,y,z)\), trong đó $a,b,c>0$ thì ta có:

\(ab+bc+ac=1\) và cần phải CMR:

\(P=\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}+\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}\)

-----------------------------------------------

Ta có:
\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}}{\frac{1}{bc}}=\sqrt{(b^2+1)(c^2+1)}-b\sqrt{c^2+1}-c\sqrt{b^2+1}\)

\(=\sqrt{(b^2+ab+bc+ac)(c^2+ac+bc+ab)}-b\sqrt{c^2+ac+bc+ab}-c\sqrt{b^2+ab+bc+ac}\)

\(=\sqrt{(b+a)(b+c)(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}\)

\(=(b+c)\sqrt{(a+b)(a+c)}-b\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(b+a)(b+c)}(1)\)

Tương tự:

\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{c^2}+1)(\frac{1}{a^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{c^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}}{\frac{1}{ac}}=(a+c)\sqrt{(b+a)(b+c)}-a\sqrt{(c+a)(c+b)}-c\sqrt{(a+b)(a+c)}(2)\)

\(\frac{\sqrt{(\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1})-\sqrt{\frac{1}{a^2}+1}-\sqrt{\frac{1}{b^2}+1}}{\frac{1}{ab}}=(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}-b\sqrt{(a+b)(a+c)}-a\sqrt{(b+c)(b+a)}(3)\)

Từ \((1);(2);(3)\Rightarrow P=(b+c-c-b)\sqrt{(a+b)(a+c)}+(a+c-c-a)\sqrt{(b+a)(b+c)}+(a+b-b-a)\sqrt{(c+a)(c+b)}\)

\(=0\)

Ta có đpcm.