Vì: \(0\le a\le b\le c\le1\Rightarrow\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{ab+1}\le\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{c}{ab+1}\le\frac{c}{a+b}\left(1\right)\)

Tương tự ta có: \(\frac{a}{bc+1}\le\frac{a}{b+c}\left(2\right)\)

Và: \(\frac{b}{ac+1}\le\frac{b}{a+c}\left(3\right)\)

Từ: \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)

Mà: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\le\frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

\(\Rightarrow\frac{a}{bc+1}+\frac{b}{ac+1}+\frac{c}{ab+1}\le2\left(đpcm\right)\)

\(\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\frac{2ab}{a-b}=a-b+\frac{12}{a-b}\ge2\sqrt{12}=4\sqrt{3}\left(Cauchy\right)\)

mình ghi nhầm cái số 1 nhỏ nha
mn nếu giải thì bỏ cái số đó đi

+ ta có a,b,c thuộc [0,1] 
=> b^2 <= b và c^3 <= c 
=> a + b^2 + c^3 - ab - bc - ca <= a + b + c - (ab + bc + ca) 
+ mặt # a , b , c thuộc [0,1] 
=> (1 - a)(1 - b)(1 - c) >=0 
<> 1- a - b - c + ab + bc + ca - abc >=0 
<> a + b + c - (ab + bc + ca) <= 1 - abc 
=> a + b + c - (ab + bc + ca) <=1 (abc >= 0)

Ta có: \(\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\le1-\frac{d}{d+1}=\frac{1}{d+1}\\\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{a}{a+1}=\frac{1}{a+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{b}{b+1}=\frac{1}{b+1}\\\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\le1-\frac{c}{c+1}=\frac{1}{c+1}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 bộ số thực không âm

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{1}{d+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\\\frac{1}{a+1}\ge\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{bcd}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{b+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{c}{c+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{acd}{\left(a+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}}\\\frac{1}{c+1}\ge\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{d}{d+1}\ge3\sqrt[3]{\frac{abd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(d+1\right)}}\end{matrix}\right.\)

Nhân từng vế:

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge81\sqrt[3]{\frac{a^3b^3c^3d^3}{\left(a+1\right)^3\left(b+1\right)^3\left(c+1\right)^3}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\ge\frac{81abcd}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)\left(d+1\right)}\)

\(\Rightarrow1\ge81abcd\)

Vậy \(abcd\le\frac{1}{81}\left(đpcm\right)\)

p/s : lí do tớ tự trả lời câu hỏi của mình là để coi câu trả lời của mình có đúng hay ko thôi nha , mong các bạn đứng có hiểu lầm , nếu bạn nào có cách nào nhanh và gọn hơn thì phiền các bạn chỉ dùm luôn nha.

Ta có: 
1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)≥2 
→1/(1+a)≥{1-1/(1+b)}+{1-1/(1+c)} 
↔1/(1+a)≥b/(1+b)+c/(1+c) 
≥2.√(bc)/{(1+b)(1+c)}(theo cosi) 
Hai bất đẳng thức tương tự rồi nhân vế với vế 
1/{(1+a)(1+b)(1+c)≥8.abc/{(1+a)(1+b)(1... 
↔abc≤1/8(dpcm)

TK NHA

\(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)\)\(=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Tương tự ta có: 

\(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ac}{\left(1+a\right)\left(1+c\right)}};\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\). Suy ra:

\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}.\)

\(vp=\frac{a\left(1+b\right)+b\left(1+a\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}=\frac{2ab+a+b}{1+ab+a+b}\)

\(\ge\frac{a+b}{1+ab+a+b}\)

\(\ge\frac{a+b}{1+a+b}\)

Vô lí vì a+b+c=0\(\Rightarrow\frac{5}{a+b+c}\)không có đáp án