gpt bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về pt đẳng cấp:
\(\sqrt{5x^2-14x+9}-\sqrt{x^2-x+1}=2\left(x^2-4x+7\right)\sqrt{x-2}\)
hộ e vs ak
Giải các pt vô tỉ sau ( bằng phương pháp đặt ẩn phụ đưa về phương trình tích )
a) \(\sqrt{x^3+x^2+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{x^2+3}+\sqrt{2x^2+2x}\)
b) \(\sqrt{x^2-3x}+2\sqrt{x}-4\sqrt{x-3}-x+8=0\)
c) \(\left(5x^2+4x+3\right)\sqrt{x}=\left(x+3\right)\sqrt{5x^2+4x}\)
d) \(\left(x+2\right)\sqrt{3x+\frac{1}{x}}=3x^2+3\)
e)\(\left(x^2+2x+1\right)3\sqrt{x^2+\frac{3}{x}}=x^3+2x^2+5\)
giải phương trình vô tỉ bằng các pp sau
1. đưa về tích
\(\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+7\right)}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6\)
2.hằng đẳng thức
\(2x^2+2x+1=\sqrt{4x+1}\)
3.đặt ẩn phụ
\(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}\)
1. \(\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+7\right)}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+3\right)\left(x+7\right)}-3\sqrt{x+3}-2\sqrt{x+7}+6=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+7}-3\right)\left(\sqrt{x+3}-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+7}-3=0\\\sqrt{x+3}-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+7}=3\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy...
2. \(2x^2+2x+1=\sqrt{4x+1}\)
\(\Leftrightarrow2x^2+2x+1-\sqrt{4x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow4x^2+4x+2-2\sqrt{4x+1}=0\)
\(\Leftrightarrow4x+1-2\sqrt{4x+1}+1+4x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{4x+1}-1\right)^2+4x^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{4x+1}=1\\2x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}4x+1=1\\x=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)
Vậy...
3. \(\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1-2\sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1+2\sqrt{x-1}+1}=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+1\right)^2}=\frac{x+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}-1\right|+\sqrt{x-1}+1=\frac{x+3}{2}\)
Đặt \(\sqrt{x-1}=a\)
\(\Leftrightarrow x-1=a^2\Leftrightarrow x+3=a^2+4\)
\(pt\Leftrightarrow\left|a-1\right|+a+1=\frac{a^2+4}{2}\)
+) Xét \(a\le1\Leftrightarrow a-1\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\)
\(pt\Leftrightarrow1-a+a+1=\frac{a^2+4}{2}\)
\(\Leftrightarrow2=\frac{a^2+4}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+4=4\)
\(\Leftrightarrow a=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\) ( thỏa )
+) Xét \(a\ge1\Leftrightarrow a-1\ge0\Leftrightarrow x>2\)
\(pt\Leftrightarrow a-1+a+1=\frac{a^2+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2a=\frac{a^2+3}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+3=4a\)
\(\Leftrightarrow a^2-4a+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-3\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=1\\a=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\left(loai\right)\\x=10\left(thoa\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy...
\(10\sqrt{x^3+1}=3\left(x^2+2\right)\)
\(2x^2+5x-1=7\sqrt{x^3-1}\)
phương pháp đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình
Giải các pt sau( phương pháp đạt ẩn phụ đưa về pt đẳng cấp )
1. \(4x^2+12x=9=7x\sqrt{4x-3}\)
giải phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
ạ) \(2\sqrt{\left(-2x^2+5x+7\right)}=x^3-3x^2-x+12\)
b) \(x^2-3x+3=\left(4+3x-\frac{4}{x}\right)\sqrt{\left(x-1\right)}\)
giải pt bằng phương pháp đặt ẩn phụ
\(x^2+\left(3-\sqrt{x^2+2}\right)x=1+2\sqrt{x^2+2}\)
\(x^2+\left(3-\sqrt{x^2+2}\right)x=1+2\sqrt{x^2+2}\)
\(pt\Leftrightarrow x^2+3x-1-x\sqrt{x^2+2}=2\sqrt{x^2+2}\)
\(\Leftrightarrow x^2-7-\left(x\sqrt{x^2+2}-3x\right)=2\sqrt{x^2+2}-6\)
\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^2\left(x^2+2\right)-9x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}=\dfrac{4\left(x^2+2\right)-36}{2\sqrt{x^2+2}+6}\)
\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^4-7x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4x^2-28}{2\sqrt{x^2+2}+6}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-7-\dfrac{x^2\left(x^2-7\right)}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4\left(x^2-7\right)}{2\sqrt{x^2+2}+6}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2-7\right)\left(1-\dfrac{x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4}{2\sqrt{x^2+2}+6}\right)=0\)
Dễ thấy: \(1-\dfrac{x^2}{x\sqrt{x^2+2}+3x}-\dfrac{4}{2\sqrt{x^2+2}+6}>0\)
\(\Rightarrow x^2-7=0\Rightarrow x=\pm\sqrt{7}\)
giải phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ:
1) \(2\left(3x+5\right)\sqrt{x^2+9}=3x^2+2x+30\)
2) \(2\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3\)
Giải PT (dùng phương pháp đặt ẩn phụ):
\(\frac{\left(a-x\right)\sqrt[4]{x-b}+\left(x-b\right)\sqrt[4]{a-x}}{\sqrt[4]{a-x}+\sqrt[4]{x-b}}=\frac{a-b}{2}\)
TXD x>= b, x<=a : x khác a=b
Đặt (a-x) = A, (x-b) = B
Vế phải = (a-x+x - b)/2 = (A + B)/2
2 x (A\(\sqrt[4]{B}\)+ B\(\sqrt[4]{A}\))= (A+B) (\(\sqrt[4]{A}\)+ \(\sqrt[4]{B}\))
= A\(\sqrt[4]{A}\)+ B\(\sqrt[4]{A}\)+ B\(\sqrt[4]{B}\)+A\(\sqrt[4]{B}\)
A\(\sqrt[4]{B}\)+ B\(\sqrt[4]{A}\)= A\(\sqrt[4]{A}\)+ B\(\sqrt[4]{B}\)
\(\sqrt[4]{B}\)(A-B) = \(\sqrt[4]{A}\)(A-B)
=> A = B => a-x = x-b => x = (a+b)/2 (a khác b)
GPT : \(x\sqrt{x+1}+\left(x+5\right)\sqrt{x+6}=x^2+5x+6\) ( x = 3 )
( Dùng ẩn phụ hoặc liên hợp )
Lời giải:
ĐKXĐ: $x\geq -1$
PT \(\Leftrightarrow x(\sqrt{x+1}-2)+(x+5)(\sqrt{x+6}-3)=x^2-9\)
\(\Leftrightarrow x.\frac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}+(x+5).\frac{x-3}{\sqrt{x+6}+3}-(x-3)(x+3)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-3)\left[\frac{x}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x+5}{\sqrt{x+6}+3}-(x+3)\right]=0\)
Ta sẽ cm pt chỉ có nghiệm $x=3$ bằng cách chỉ ra biểu thức trong ngoặc vuông luôn âm.
Nếu $-1\leq x< 0$ thì:
\(\frac{x}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x+5}{\sqrt{x+6}+3}-(x+3)< \frac{x+5}{\sqrt{x+6}+3}-(x+3)< \frac{x+5}{3}-(x+3)=\frac{-2(x+4)}{3}< 0\)
Nếu $x\geq 0$ thì:
\(\frac{x}{\sqrt{x+1}+2}+\frac{x+5}{\sqrt{x+6}+3}-(x+3)\leq \frac{x}{2}+\frac{x+5}{3}-(x+3)=\frac{-(x+8)}{6}<0\)
Vậy........