cm: a+b/a-b=c+a/c-a thì a^2=bc
giúp mk vs
a) cho các số tự nhiên a , b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca và a + b + c = 3 ;
Tính M = a^2016 + 2015b^2015 + 2020c
b) cho x > y > 0 . CM ( x - y ) / ( x + y) < ( x^2 - y^2 ) / ( x^2 + y^2 )
Giải giúp mk vs , ảnh hưởng tới tương lai gần của mk đấy , vs lai giải xong thì kb vs mk nhe :))
a) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Mà a + b + c = 3 \(\Rightarrow a=b=c=1\)
\(\Rightarrow M=1+2015+2020\)\(=4036\)
b) \(\frac{x-y}{x+y}< \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)< \left(x+y\right)\left(x^2-y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2\right)-\left(x+y\right)\left(x-y\right)\left(x+y\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left[x^2+y^2-\left(x+y\right)\left(x+y\right)\right]< 0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2+y^2-x^2-2xy-y^2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow-2xy\left(x-y\right)< 0\)
Có \(x>y\Rightarrow x-y>0\)
\(\Rightarrow-2xy< 0\)
\(\Leftrightarrow xy>0\)
TH1: \(\orbr{\begin{cases}x>0\\y>0\end{cases}}\)( thỏa mãn )
TH2:\(\orbr{\begin{cases}x< 0\\y< 0\end{cases}}\)( loại )
Vậy bđt được chứng minh
giúp mk nhanh nhanh vs ạ
cho a b c >0 và ab +bc +ca=1
cm: \(\frac{a-b}{1+c^2}+\frac{b-c}{1+a^2}+\frac{c-a}{1+b^2}=0\)
Xét: \(1+c^2=ab+bc+ca+c^2=\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
Tương tự CM được:
\(1+b^2=\left(a+b\right)\left(c+b\right)\) và \(1+a^2=\left(c+a\right)\left(b+a\right)\)
Mặt khác ta tách: \(\hept{\begin{cases}a-b=\left(a+c\right)-\left(b+c\right)\\b-c=\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\\c-a=\left(c+b\right)-\left(a+b\right)\end{cases}}\)
Thay vào ta được:
\(Vt=\frac{\left(a+c\right)-\left(b+c\right)}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}+\frac{\left(a+b\right)-\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}+\frac{\left(c+b\right)-\left(a+b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{1}{b+c}-\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+a}-\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\)
\(=0\)
=> đpcm
a) CM: a^2+b^2+c^2+3/4>=a+b+c
b) cho a+b>1.CM: a^4+b^4>1/8
c) a,b,c>0.CM: a^2/b^2+b^2/a^2>= a/b+b/a
giúp mk vs!
a)\(a^2+b^2+c^2+\frac{3}{4}\ge a+b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2-a+\frac{1}{4}+b^2-b+\frac{1}{4}+c^2-c+\frac{1}{4}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\left(b-\frac{1}{2}\right)^2+\left(c-\frac{1}{2}\right)^2\ge0\)
Xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)
b)Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a^2+b^2\right)^2\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\)
\(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}\ge\frac{\left(\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\right)^2}{2}=\frac{\frac{\left(a+b\right)^2}{4}}{2}>\frac{\frac{1}{4}}{2}=\frac{1}{8}\)
c)\(BDT\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\)
Khi a=b
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a, a(b^2+c^2+bc)+b(c^2+a^2+ca)+c(a^2+b^2+ab)
b, (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
c, c(a+2b)^3-b(2a+b)^3
Giúp mk vs mk đag gấp !!
\(\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc\right)+\left(a+b+c\right)ac-abc\)
\(=\left(ab+b^2+bc\right)\left(a+c\right)+\left(a+c\right)ac+abc-abc\)
\(=\left(a+c\right)\left(ab+b^2+bc+ac\right)\)
\(=\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\)
cho tam giác ABC vẽ góc BAE= góc ABC( E và C nằm khác fía vs AB ).VẼ góc CAF=ACB ( F VÀ B nằm khác fía vs đối vs AC)
a, CM: AE//BC
b, AF//BC
c, 3 điểm A,E,F THẲNG HÀNG
GIÚP MK NHA , MK CẦN GẤP
Cho a+b/a-c=c+a/c-a. CM: a^2=bc. Điều ngược lại đúng ko? Vì sao?
Giúp mk vs nha. Mk đang cần gấp. Thank nhìu. Mk sẽ tĩk cho nha.
Cho tam giác ABC có góc B và C nhọn. Dựng ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại các đỉnh B và C. Vẽ AH; DI và EK cùng vuông góc với đường thẳng BC (H,I,K thuộc BC
a, CM: tam giác BDI = tam giác ABH và DI+EK=BC
b, Tính độ dài AH biết AB=3cm, BC=5cm và 3 điểm D,A, E thẳng hàng.
Giúp mk vs nha. Mk tik cho. Nếu đc thì vẽ hình viết kết luận giúp mk vs nha. ^-^. Thank trc nha.
Giúp mih vs
a//b//c.d cắt a,b,c lần lượt tại A,B,C;d' cắt A',B',C'.cm AB/BC=A'B/B'C'
\(\Delta\)AB'B và \(\Delta\)BB'C có chung chiều cao hạ từ B' nên \(\frac{AB}{BC}=\frac{S_{AB'B}}{S_{BB'C}}\)
Ta có: \(S_{AB'B}=S_{A'BB'}\)(Cùng chiều cao h hạ từ A và A')
Tương tự: \(S_{BB'C}=S_{B'BC'}\)
Suy ra: \(\frac{AB}{BC}=\frac{S_{AB'B}}{S_{BB'C}}=\frac{S_{A'BB'}}{S_{B'BC'}}=\frac{A'B'}{B'C'}\)(Do \(\Delta\)A'BB' và \(\Delta\)B'BC' có chung chiều cao hạ từ B)
Vậy \(\frac{AB}{BC}=\frac{A'B'}{B'C'}\)(đpcm).
Mih vẫn thấy vô lý tại sao tg ABB' và tgBB'c lại có chung chiều cao
Chứng tỏ rằng nếu ( a - b ) ^2 + ( b - c )^2 + ( c - 9 )^2 = 0 thì a=b=c=9
Giúp mk vs
Ta có \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-9\right)^2=0\)
Ta thấy \(\left(a-b\right)^2\ge0;\left(b-c\right)^2\ge0;\left(c-9\right)^2\ge0\)với mọi a,b,c
Do đó \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-9\right)^2\ge0\)với mọi a,b,c
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
\(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-9\right)^2=0\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-9=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=9\end{cases}\Rightarrow}a=b=c=9}\)
---> ĐPCM