\(n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Vì đây là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

Ngoài ra trong đó còn có 1 số chia hết cho 2 vì có 2 tự nhiên liên tiếp

Mà (2,3)=1 Do đó \(n^3-n\) chia hết cho 6

ngu vậy học lại lớp 2 đi

sao thế nếu dễ thì làm hộ cái

hiểu đề ko mà làm!

=>21 chia hết 49 h minh nhé

giả sử n^2+n+6 chia hết cho5 thì ta có:

n(n+1)+2 chia hết cho 5

Má n(n+1)suy ra n(n+1)+2 chẵn

Suy ra n(n+1)+2có tận cùng là 0

Suy ra n(n+1) có tận cùng là 8

Má n(n+1)lá tích 2 số liên tiếp nên k tìm được n

Giả thuyết trên k hợp lý

Vậy...................

minh hieu roi

Ta có: n²+n+6 = n.n+n.1+6= n.(n+1)+6

Vì n.(n+1) là 2 số tự nhiên liên tiếp

Mà 2 số tự nhiên liên tiếp luôn có chữ số tận cùng là: 0 hoặc 2 hoặc 6

Nên n.(n+1)+6 có chữ số tận cùng là 6 hoặc 8 hoặc 2

Vậy n.(n+1)+6 không chia hết cho 5

\(7^{4n}-1=\left(7^4\right)^n-1=\left(2401\right)^n-1=\left(....1\right)-1=...0\Rightarrow7^{4n}-1\)chia hết cho n(vì có tận cùng là 0)

 Ta có n^2(n+1)+2n(n+1) = n^3+3n^2+2n = n(n^2+3n+2) = n(n+1)(n+2) 
Ta thấy n, n+1, n+2 là ba số nguyên liên tiếp với n nguyên 
=> trong 3 số n, n+1, n+2 có một số chia hết cho 3, có ít nhất một số chia hết cho 2 
=> n(n+1)(n+2) chia hết cho 2*3 = 6 (vì ƯCLN(2;3)=1) 
Vậy ta được điều phải chứng minh

Có đúng không thì cũng ủng hộ nha

Đúng tôi làm rồi

1) Ta có: 3n²+3n

= 3(n²+n) \(⋮\) 3

Vì n là STN nên:

TH1: n là số tự nhiên lẻ.

\(\Rightarrow\)n² sẽ lẻ \(\Rightarrow\) n²+n bằng lẻ cộng lẻ và bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2 \(\Rightarrow\) 3(n²+n) \(⋮\) 2

\(\Rightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và cũng chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

TH2: n là số tự nhiên chẵn.

\(\Rightarrow\) n² sẽ chẵn \(\Rightarrow\) n²+n bằng chẵn cộng chẵn bằng chẵn \(\Rightarrow\) n²+n \(⋮\) 2\(\Rightarrow\)

3(n²+n) \(⋮\) 2\(\Leftrightarrow\) 3n²+3n \(⋮\) 2

Vì 3n²+3n chia hết cho 3 và chia hết cho 2 nên số đó chia hết cho 6.

Vậy với mọi trường hợp số tự nhiên thì 2n²+3n đều chia hết cho 6. Vậy với mọi n là số tự nhiên thì 2n²+3n sẽ chia hết cho 6 (đpcm)

3)

Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp là k; k+1; k+2; k+3; k+4

\Rightarrow

A = n^2 + n + 8n + 8 + 21 

   = n^2 + 9n + 29

4A = 4n^2 + 36n + 116 = (2n+9)^2 + 35

Gia sử A chia hết cho 49 => 4A chia hết cho 49

=>A chia hết cho 7 => (2n+9)^2 + 35 chia hết cho 7

=> (2n+9)^2 chia hết cho 7 (vì 35 chia hết cho 7)

=> 2n+9 chia hết cho 7 => (2n+9)^2 chia hết cho 49 ( vì 7 nguyên tố)

=> 4A= (2n+9)^2 + 35 ko chia hết cho 49 ( mâu thuẫn giả sử) => A ko chia hết cho 49

Vậy A ko chia hết cho 49