Tính chất[sửa | sửa mã nguồn]

Ký hiệu "{\displaystyle b\mid a}" nghĩa là {\displaystyle b} là ước của {\displaystyle a}.

1. Ước tự nhiên khác {\displaystyle 1} nhỏ nhất của một số tự nhiên là số nguyên tố.

Chứng minh: Giả sử {\displaystyle d\mid a}; {\displaystyle d} nhỏ nhất; {\displaystyle d\neq 1}.

Nếu {\displaystyle d} không nguyên tố {\displaystyle \Rightarrow d=d_{1}d_{2};\;d_{1},d_{2}>1.}

{\displaystyle \Rightarrow d_{1}\mid a} với {\displaystyle d_{1}<d}: mâu thuẫn với {\displaystyle d} nhỏ nhất. Vậy {\displaystyle d} là nguyên tố.

2. Cho {\displaystyle p} là số nguyên tố; {\displaystyle a\in \mathbb {N} ;a\neq 0}. Khi đó

{\displaystyle (a,p)=p\Leftrightarrow p\mid a}

{\displaystyle (a,p)=1\Rightarrow p\mid a}

3. Nếu tích của nhiều số chia hết cho một số nguyên tố {\displaystyle p} thì có ít nhất một thừa số chia hết cho {\displaystyle p}.

Hình minh họa cho thấy thuật toán đơn giản để tìm số nguyên tố và các bội số
Các số tô màu giống nhau là cùng một họ mà dẫn đầu (đậm hơn) sẽ là số nguyên tố

{\displaystyle p\mid \prod _{i=1}^{N}a_{i}\Rightarrow (\exists a_{i}\Rightarrow p\mid a_{i})}

4. Ước số dương bé nhất khác {\displaystyle 1} của một hợp số {\displaystyle a} là một số nguyên tố không vượt quá {\displaystyle {\sqrt {a}}}

5. {\displaystyle 2} là số nguyên tố nhỏ nhất và cũng là số nguyên tố chẵn duy nhất

6. Tập hợp các số nguyên tố là vô hạn (tương đương với việc không có số nguyên tố lớn nhất).

Chứng minh: Giả sử có hữu hạn số nguyên tố: p₁ < p₂ <... < p_n

Xét a = p₁.p₂.... p_n+1

Ta có: a > 1 và a khác p_i với mọi i từ 1 đến n => a là hợp số => a có ước nguyên tố p_i hay a chia hết cho p_i, mà p₁p₂...p_n chia hết chi p_i => 1 chia hết cho p_i, mâu thuẫn vì p_i là số nguyên tố.

Vậy tập hợp các số nguyên tố là vô hạn.

Bảng số nguyên tố-sàng 

Ta có (các số 2,3,5,7)là các số nguyên tố từ 1 đến 10

Vậy các số chia hết cho (2,3,5,7)là số 30 Vì 30 chia hết cho cả 2,3,5,7và cũng là số dương nhỏ nhất chia hết cho (2,3,5,7)

+Đó là cách của mk ko bt sai hay đúng nhé nhưng mk từng gặp dạng này r 

+có lẽ đúng đấy

Ta thấy : (p-1).p.(p+1)là tích 3 số tự nhiên liện tiêp nên (p-1).p.(p+1) \(⋮\) 3 

, mà p là số nguyên tố > 3 nên p không chia hết cho 3 => (p-1)(p+1)\(⋮\)3  (1)

Vì chỉ có 1 số nguyên tố chẵn là 2 ,

còn lại toàn là số nguyên tố lẻ  mà p>3 nên P là số nguyên tố lẻ 

=> (p-1)(p+1) là tích 2 số chẵn liên tiếp nên (p-1)(p+1)  \(⋮\) 8 (2)

Từ (1)và (2)  => (P-1)(P+1) chia hết cho cả 3 và 8 mà (3;8)=1 nên (p-1)(p+1)\(⋮\) 24 ( đpcm)

a, Vì p là số nguyên tố > 3 => p lẻ

=> Hai số \(p-1;p+1\)là hai số chẵn liên tiếp

=> \(\left(p-1\right).\left(p+1\right)⋮8\)( 1 )

b, Vì p là số nguyên số > 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k \(\in\)N^* )

+, Với p = 3k + 1

=> \(\left(p-1\right).\left(p+1\right)=3k.\left(3k+2\right)⋮3\left(2a\right)\)

+, Với p = 3k + 2

\(\Rightarrow\left(p-1\right).\left(p+1\right)=\left(3k-1\right).3.\left(k+1\right)⋮3\left(2b\right)\)

Từ \(\left(2a\right),\left(2b\right)\Rightarrow\left(p-1\right).\left(p+1\right)⋮3\)( 2 )

Từ ( 1 ) và ( 2 ) => \(\left(p-1\right).\left(p+1\right)⋮\left(3.8\right)\Rightarrow\left(p-1\right).\left(p+1\right)⋮24\)

\(7⋮\left(2n-3\right)\Leftrightarrow2n-3\inƯ\left(7\right)=\left\{-7,-1,1,7\right\}\)

\(\Leftrightarrow2n\in\left\{-4,2,4,10\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-2,1,2,5\right\}\).

24750

Các số tự nhiên chia hết cho 5 nhỏ hơn 500 bắt đầu từ 0 đến 495 và hơn kém nhau 5 dơn vị

Số số hạng chia hết cho 5 nhỏ hơn 500 là

( 495 - 0 ) : 1 + 1 = 496 ( số hạng )

Tổng các số chia hết cho 5 nhỏ hơn 500 là

( 495 + 0 )  x 496 : 2 = 122760

Đáp số 122760

số số hạng chia hết cho 5: (495-0):5+1=100 số hạng

trung bình cộng của dãy số: 495+0:2=247,5

tổng là: 247,5x100=24750

Đ/s: 24750

1. Ta có: a chia có 7 dư 3 => a - 3 chia hết cho 7

=> 4 (a - 3) chia hết cho 7  => 4a - 12 chia hết cho 7

=> 4a - 12 + 7 chia hết cho 7 => 4a - 5 chia hết cho 7 (1)

a chia cho 13 dư 11 => a - 11 chia hết cho 13

=> 4 (a - 11) chia hết cho 13  => 4a - 44 chia hết cho 13

=> 4a - 44 + 39 chia hết cho 13 => 4a - 5 chia hết cho 13 (2)

a chia cho 17 dư 14 => a - 14 chia hết cho 17

=> 4 ( a - 14) chia hết cho 17 => 4a - 56 chia hết cho 17

=> 4a - 56 + 51 chia hết cho 17 => 4a - 5 chia hết cho 17 (3)

Từ (1), (2) và (3) => 4a - 5 thuộc BC(7;13;17)

Mà a nhỏ nhất => 4a - 5 nhỏ nhất

=> 4a - 5 = BCNN(7;13;17) = 7 . 13 . 17 = 1547

=> 4a = 1552  => a= 388

2. Gọi ƯCLN(a,b) = d

=> a = d . m          (ƯCLN(m,n) = 1)

     b = d . n  

Do a < b => m<n

Vì BCNN(a,b) . ƯCLN(a,b) = a . b

\(\Rightarrow BCNN\left(a,b\right)=\frac{a\cdot b}{ƯCLN\left(a,b\right)}=\frac{d\cdot m\cdot d\cdot n}{d}=m\cdot n\cdot d\)

Vì BCNN(a,b) + ƯCLN(a,b) = 19

=> m . n . d  + d = 19

=> d . (m . n + 1) = 19

=> m . n + 1 thuộc Ư(19); \(m\cdot n+1\ge2\)

Ta có bảng sau:

Vậy (a,b) = (2;9) ; (1 ; 18)

3.