Lời giải:

Đặt $n+1995=a^2, n+2014=b^2$ với $a,b\in\mathbb{N}$

Khi đó:

$(n+2014)-(n+1995)=b^2-a^2$

$\Leftrightarrow 19=b^2-a^2=(b-a)(b+a)$

Vì $b,a$ là 2 số tự nhiên nên $b+a> b-a$. Vì $b+a>0, (b+a)(b-a)=19>0$ nên $b-a>0$

Suy ra $b+a=19; b-a=1$

$\Rightarrow b=10$

$\Rightarrow n+2014=b^2=10^2=100\Rightarrow n=-1914$

Số tự nhiên k là 1

Vì 7.1=7 và 7 chia hết cho 1 và chính nó 

11 cũng như vậy

Nếu p=2 thì p+10=12 là hợp số

       p=3 thì p+10=13 là 1 số nguyên tố

=>   p=3 thì p+14=17 cũng là 1 số nguyên tố (1)

Từ đó ,ta có:

p>3 thì  p=3k+1=>p+14=3k+15 là hợp số

             p=3k+2 => p+10=3k+12 cũng là hợp số  (2)

Từ (1) và (2) ,thì p=3

b, Nếu p= 2 thì p+2= 2+2=4 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )

Nếu p= 3 thì p+6= 3+6=9 chia hết cho 3 →là hợp số ( loại )

Nếu p= 4 thì p+18= 4+18=22 chia hết cho 22 →là hợp số ( loại )

Nếu p=5 thì \(\left[\begin{array}{nghiempt}p+2=5+2=7\\p+6=5+6=11\\p+18=5+18=23\end{array}\right.\) ↔ Là số nguyên tố

Vì p có 2 giá trị cần tìm nên ta tiếp tục tìm kiếm nha bn

Nếu p=6 thì p+2= 6+2 =8 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )

Nếu p=7 thì p+2=7+2=9 chia hết cho 3 →là hợp số ( loại )

Nếu p=8 thì p+2= 8+2=10 chia hết cho2 →là hợp số ( loại )

Nếu p=9 thì p+6=9+6=15 chia hết cho 5 →là hợp số ( loại )

Nếu p=10thì p+6=10+6=16 chia hết cho 2 →là hợp số ( loại )

Nếu p=11 thì \(\left[\begin{array}{nghiempt}p+2=11+2=13\\p+6=11+6=17\\p+18=11+18=29\end{array}\right.\) → là SNT

Vậy có 2 giá trị p= 5 và p= 11

+ Nếu p=2 thì p+10 = 2+10 = 12 chia hết cho 2 →là hợp số (loại)

+ Nếu p=3 thì p+10= 3+ 10 =13 → là số nguyên tố

......................p+14 = 3+14=17 → là số nguyên tố

_** Nếu p > 3 thì p sẽ có dạng 3k + 1 và 3k+2

_* Nếu p= 3k+1 thì p+14= 3k+1+14=3k+15 chia hết cho 3→là hợp số (loại)

Nếu p= 3k+2 thì p+10= 3k+2+10=3k+12 chia hết cho 3 →là hợp số (loại)

Vậy có 1 và chỉ cí 1 giá trị p=3

a)  đế  C và D cùng tồn tại thì:

\(\hept{\begin{cases}n-1\ne0\\n+1\ne0\end{cases}}\)  <=>  \(\hept{\begin{cases}n\ne1\\n\ne-1\end{cases}}\)

Vậy....

b)   (n là số nguyên)  

để C là số nguyên thì:   2 chia hết cho n - 1

hay n - 1 thuộc Ư(2) = {-2; -1; 1; 2}

=> n = {-1; 0; 2; 3}

Do n # -1   nên   n = { 0; 2; 3}

n = 0 thì D = 4  (t/m)

n = 2 thì D = 2  (t/m)

n = 3 thì D = 7/4  (loại)

Vậy n = {0; 2}  thì C và D đều nguyên

a) C và D cùng tồn tại khi \(n\ne\pm1\)

b) Để C là số nguyên

=> 2 chia hết cho n - 1

=> n - 1 thuộc Ư(2) ={1;-1;2;-2}

nếu n - 1 = 1 => n = 2

n - 1 = -1 => n = 0

n-1 = 2 => n = 3

n -1 = - 2 => n = -1 

Để \(D=\frac{n+4}{n+1}=\frac{n+1+3}{n+1}=1+\frac{3}{n+1}\)là số nguyên

=> 3 chia hết cho n + 1

=> n + 1 thuộc Ư(3)={1;-1;3;-3}

nếu n + 1 = 1 => n = 0 (TM)

n + 1 = - 1 => n = - 2 (Loại)

n + 1 = 3 => n = 2 (TM)

n + 1 = - 3 => n = - 4 (Loại)

KL: n = 0 hoặc n  = - 2 thì C và D đều là số nguyên

N = 5 nhé bạn

vì n+4 và n+11 đều là số chính phương nên có hệ

\(\hept{\begin{cases}n+4=a^2\\n+11=b^2\end{cases}}\)trừ phương trình ta có :\(b^2-a^2=7\Leftrightarrow\left(b-a\right)\left(b+a\right)=7\) do đó b-a và b+a là ước của 7 nên

n+4 và n+11 là các số chính phương

=> \(n+4=a^2\) ; \(n+11=b^2\)(*)

Do \(n+11>n+4\)=> \(b^2>a^2\)( a và b là số tự nhiên )

Có \(b^2-a^2=\left(n+11\right)-\left(n+4\right)\)

=>\(\left(b+a\right)\left(b-a\right)=n+11-n-4\)

=> \(\left(b+a\right)\left(b-a\right)=7\)

Ta có ước tự nhiên của 7 là các số: 1;7 (7 là số nguyên tố) Kết hợp với (b + a) > (b - a) (do a và b là số tự nhiên) ta có:

\(\left(b+a\right)=7;\left(b-a\right)=1\)

Cộng hai về b+a và b-a ta được:

\(\left(b+a\right)+\left(b-a\right)=7+1\)

=> \(b+a+b-a=8\)

=>\(2b=8\)

=>\(b=4\)

Thay b=4 vào (*) ta được :

\(n+11=b^2\)=> \(n+11=4^2=16\)=> \(n=16-11=5\)

Vậy n=5 thì n+4 và n+11 là các số chính phương.