Điều kiện \(8x+1\ge0\Leftrightarrow8x\ge-1\Leftrightarrow x\ge-\frac{1}{8}\)

Cách 1: Do \(x\in Z\)nên \(x\ge0\).Ta có:

               \(x^3+8=7\sqrt{8x+1}\Leftrightarrow\left(x^3+8^2\right)=(7\sqrt{8x+1})^2\)

\(\Leftrightarrow x^6+16x^3+64=49\left(8x+1\right)\Leftrightarrow x^6+16x^3+392x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^6-3x^5+3x^5-9x^4+9x^4-27x^3+43x^3-129x^2+129x^2-387x-5x+15=0\)

\(\Leftrightarrow x^5\left(x-3\right)+3x^4\left(x-3\right)+9x^3\left(x-3\right)+43x^2\left(x-3\right)+129x\left(x-3\right)-5\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x-5=0\left(\cdot\right)\end{cases}}\)

\(x=0\)là nghiệm của \(\left(\cdot\right)\)vì \(-5\ne0\)

\(x\ne0,\)ta có \(x\ge0\)và \(x\in Z\)nên \(x\ge1\)

Do đó \(x^5+3x^4+9x^3+43x^2+129x>5\)

\(\Rightarrow\left(\cdot\right)\)vô nghiện nguyên khác 0

Vậyphương trình chỉ có 1 nghiệm nguyên là \(x=3\)

Cách 2: \(x\ge0;x\in Z\)

Với \(x=0;1;2;4\)đẳng thức ko thỏa mãn

Với \(x=3\)đẳng thức thỏa mãn 

Với \(x\ge5\)ta có :

\(7\sqrt{8x+1}>7\sqrt{8x+1}=21\sqrt{x}< 21x< x^2.x=x^3< x^3+8\)

Vậy phương trình chỉ có 1 nghiệm là \(x=3\)

ở cách 2 ý:(dòng thứ 5 ) mk sử lại nha:

\(7\sqrt{8x+1}>7\sqrt{8x+x}=21\sqrt{x}< 21x< x^2.x=x^3< x^3+8\)

sorry !!

Lời giải:

PT $\Leftrightarrow x^3+x+1-y(x^2-3)=0$

$\Leftrightarrow y=\frac{x^3+x+1}{x^2-3}$ (hiển nhiên $x^2-3\neq 0$ với mọi $x$ nguyên) 

Để $y$ nguyên thì $\frac{x^3+x+1}{x^2-3}$ nguyên 

$\Leftrightarrow x^3+x+1\vdots x^2-3$
$\Rightarrow x(x^2-3)+4x+1\vdots x^2-3$
$\Rightarrow 4x+1\vdots x^2-3$

Hiển nhiên $4x+1\neq 0$ nên $|4x+1|\geq x^2-3$
Nếu $x\geq \frac{-1}{4}$ thì $4x+1\geq x^2-3$
$\Leftrightarrow x^2-4x-4\leq 0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2\leq 8<9$

$\Rightarrow -3< x-2< 3$

$\Rightarrow -1< x< 5$

$\Rightarrow x\in \left\{0; 1; 2; 3; 4\right\}$.

Nếu $x< \frac{-1}{4}$ thì $-4x-1\geq x^2-3$

$\Leftrightarrow x^2+4x-2\leq 0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2-6\leq 0$

$\Leftrightarrow (x+2)^2\leq 6< 9$

$\Rightarrow -3< x+2< 3$
$\Rightarrow -5< x< 1$

$\Rightarrow x\in\left\{-4; -3; -2; -1\right\}$

Đến đây bạn thay vào tìm $y$ thôi

a)

Các số nguyên x thỏa mãn là:

\(x\in\left\{-10;-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}\)

Tổng các số nguyên trên là:

\((8-10).19:2=-19\)

b) 

Các số nguyên x thỏa mãn là:

\(x\in\left\{-9;-8;-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;...;6;7;8;9;10\right\}\)

Tổng các số trên là: 

\((10-9).20:2=10\)

c) Các số nguyên x thỏa mãn là:

\(x\in\left\{-15;-14;-13;-12;-11;-10;-9;-8;-7;-6;-5;...;12;13;14;15;16\right\}\)

Tổng các số nguyên đó là: 

\((16-15).32:2=16\)

Answer:

a. \(-5< x< 5\)

\(\Rightarrow x\in\left\{\pm4;\pm3;\pm2;\pm1;0\right\}\)

Tổng các số nguyên x thoả mãn:

\((-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4\)

\(= (4 - 4) + (3 - 3) + (2 - 2) + (1 - 1) + 0\)

\(=0\)

a) => 2xy +3x=y+1

=> 2xy+3x-y=1

=> x(2y+3) -  1/2 (2y+3) +3/2 =1

=> (x-1/2)(2y+3)=1-3/2= -1/2

=> (2x-1)(2y+3)=-1

ta có bảng

...........

\(\left(x^2+1\right)^2y^2+16x^2+\sqrt{x^2-2x-y^3+9}=8x^3y+8xy\)(*)

Ta có (*) <=> \(\left[\left(x^2+1\right)y-4x\right]^2+\sqrt{x^2-2x-y^2+9}=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x^2+1\right)y-4x=0\\x^2-2x-y^3+9=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}yx^2-4x+y=0\left(1\right)\\x^2-2x-y^3+9=0\left(2\right)\end{cases}}}\)

Nếu y=0 thì từ (1) => x=0, thay vào (2) không thỏa mãn

Nếu y\(\ne\)0 ta coi (1) và (2) là phương trình bậc hai ẩn x

Điều kiện để có nguyên x là: \(\hept{\begin{cases}\Delta_1=4-y^2\ge0\\\Delta_2=y^3-8\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2\le y\le2\\y\ge2\end{cases}\Leftrightarrow}y=2}\)

Thay y=2 vào hệ (1), (2) ta được \(\hept{\begin{cases}2x^2-4x+2=0\\x^2-2x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow x=1}\)

Vậy x=1; y=2