Ta có:

a>3 a ko chia hết cho 3

=> a=3k+1 hoặc 3k+2

Xét a=3k+1

(3k+1)²=3k+1.3k+1=9.(k²)+6k-1

=> th 3k+1 thì a²-1 chia hết cho 3

Nếu m²-1 chia hết cho 8

thì m²-1=8k

=>m²=8k+1

=> m² có tận cùng = 1;3;5;7;9

=> m² có tận cùng =1;5;9

=> m có tận cùng =1;3;5;7;9

Th: a=3k+2

a²+1=3k+2.3k+2+1

=9.(k²)+6k+4+6k-1

=> a=3k+2 

thỏa mãn

=> m+1 thỏa mãn

nhưng th

m=4

=> với m có tc =1;3;5;9;7 thì số đó chia hết cho 24 với m tc 9 mà m khác 9

thì số đó chia hết cho 9

mk ko thể cm đc vì gs n=4 => 15 ko chia hết cho 24

1.

\(x\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\)

Tích 5 số tự nhiên liên tiếp sẽ chia hết cho 3,5

Ngoài ra trong 5 số này sẽ luôn tồn tại 2 ít nhất 2 số chẵn, trong đó có 1 số chia hết cho 4

Do đó tích 5 số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2*3*4*5=120

2.(Tương tự)

3.Trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại ít nhất 1 số chia hết cho 4 nên nó chia hết cho 2*2*4=16

Lại có trong 3 số chẵn liên tiếp luôn tồn tại 1 số chia hết cho 3(cái này viết số đó dưới dang \(x\left(x+2\right)\left(x+4\right)\)rồi xét 3 trường hợp với x=3k, x=3k+1 và x=3k+2)

Do đó tích 3 số chẵn liên tiếp chia hết cho 3*16=48.

4.

Trong 4 số chẵn liên tiếp luôn tồ tạ 1 số chia hết cho 4 và 1 số chia hết cho 8, dó đó tích này chia hết cho 2*2*4*8=128

Lại có trong 4 số chẵn liên tiếp tồn tại 1 số chia hết cho 3( làm như phần trên)

Do đó tích chia hết cho 3*128=384

5.

\(m^3-m=m\left(m-1\right)\left(m+1\right)\)

Đây là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

Nên \(m^3-m\)chia hết cho 2*3=6

Ta có: \(\left(m-1\right)m\left(m+1\right)⋮3\)mà (m,3)=1 nên

\(\left(m-1\right)\left(m+1\right)⋮3\)(1)

m là số nguyên tố lớn hơn 3 nên m là số lẻ , m-1, m+1 là 2 số chẵn liên tiếp. Trong 2 số chẵn liên tiếp có 1 số là bội của 4 nên tích của chúng chia hết cho 8(2)

Từ 1,2 => (m-1)(m+1) chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau 3 và 8

Vậy (m-1)(m+1) chia hết cho 24

Bài 1:

$a^2-1=(a-1)(a+1)$

Vì $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ nên $a$ không chia hết cho $3$. Suy ra $a$ chia $3$ dư $1$ hoặc $2$

Nếu $a$ chia $3$ dư $1\Rightarrow a-1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$

Nếu $a$ chia $3$ dư $2\Rightarrow a+1\vdots 3\Rightarrow a^2-1=(a-1)(a+1)\vdots 3$

Vậy $a^2-1\vdots 3(1)$

Mặt khác, $a$ là số nguyên tố lớn hơn $3$ thì $a$ lẻ. Do đó $a$ có dạng $4k+1$ hoặc $4k+3$ ($k\in\mathbb{Z}$)

Nếu \(a=4k+1\Rightarrow a^2-1=(4k+1)^2-1=16k^2+8k\vdots 8\)

Nếu \(a=4k+3\Rightarrow a^2-1=(4k+3)^2-1=16k^2+24k+8\vdots 8\)

Vậy $a^2-1\vdots 8(2)$

Từ $(1);(2)$ mà $(3,8)=1$ nên $a^2-1\vdots 24$ (đpcm)

Bài 2:

Từ bài 1 ta thấy rằng với mọi số $a$ là số nguyên tố lớn hơn 3 thì $a^2-1\vdots 24(1)$

Tương tự $b^2-1\vdots 24(2)$

Từ \((1);(2)\Rightarrow (a^2-1)-(b^2-1)\vdots 24\)

\(\Leftrightarrow a^2-b^2\vdots 24\) (đpcm)

1) vì a>3 nên a có dạng a=3k+1 hoặc a=3k+2
với a=3k+1 thì a^2-1=(a+1)(a-1)=(3k+2)3k chia hết cho 3
với a=3k+2 thì a^2-1=(a+1)(a-1)=(3k+3)(3k+1) chia hết cho 3
vậy với mọi số nguyên tố a>3 thì a^2-1 chia hết cho 3 (1)
mặt khác cũng vì a>3 nên a là số lẻ =>a+1,a-1 là 2 số chẵn liên tiếp
=>trong hai sô a+1,a-1 tồn tại một số là bội của 4
=>a^2-1 chia hết cho 8 (2)
từ (1) và (2) => a^2-1 chia hết cho 24 với mọi số nguyên tố a>3
=> đpcm

2) Vì :
a^2; b^2 là số chính phương
a,b không chia hết cho 3
Nên a^2; b^2 chia 3 dư 1
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3 (1)
Ta có :
(a^2 - 1) - (b^2 - 1) = (a - 1)(a + 1) - (b - 1)(b + 1) chia hết cho 8 (2)
Vì :
(a - 1); (a + 1)(a - 1); (a + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
(b - 1); (b + 1)(b - 1), (b + 1) là 2 số chẵn liên tiếp
Từ (1), (2)
=> a^2 - b^2 chia hết cho 3.8
=> a^2 - b^2 chia hết cho 24