You what

Ta có : 3m² + m = 4n2 + n 
tương đương với 4(m² - n2) + (m - n) = m² 
hay là (m - n)(4m + 4n + 1) = m² (*)

Gọi d là ước chung lớn nhất của m - n và 4m + 4n + 1 thì (4m + 4n + 1) + 4(m - n) chia hết cho d => 8m + 1 chí hết cho d.

Mặt khác, từ (*) ta có : m² chia hết cho d² => m chia hết cho d.

Từ 8m + 1 chia hết cho d và m chia hết cho d ta có 1 chia hết cho d => d = 1.

Vậy m - n và 4m + 4n + 1 là các số tự nhiên nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn (*) nên chúng đều là các số chính phương. 

Ta đặt :

\(\hept{\begin{cases}4n+5=a^2\\9n+7=b^2\end{cases}}\)( a,b là các số tự nhiên )

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}36n+45=9a^2\\36n+28=4b^2\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(36n+45\right)-\left(36n+28\right)=9a^2-4b^2\)

\(\Rightarrow17=\left(3a-2b\right)\left(3a+2b\right)\)

Vì a, b là các số tự nhiên nên 3a-2b , 3a+3b là cá số nguyên và 3a-2b <= 3a+2b nên ta có 

\(\left(3a-2b;3a+2b\right)\in\left\{\left(1;17\right);\left(-17;-1\right)\right\}\)

\(\Rightarrow6a\in\left\{18;-18\right\}\)

\(\Rightarrow a\in\left\{3;-3\right\}\)

Mà a là số tự nhiên nên a=3

\(\Rightarrow4n+5=a^2=3^2=9\)

\(\Rightarrow4n=4\)

\(\Rightarrow n=1\)

        Vậy n=1

a) \(n+5=n-2+7⋮\left(n-2\right)\Leftrightarrow7⋮\left(n-2\right)\)mà \(n\)là số tự nhiên nên 

\(n-2\inƯ\left(7\right)=\left\{-7,-1,1,7\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-5,1,3,9\right\}\)

mà \(n\)là số tự nhiên nên \(n\in\left\{1,3,9\right\}\).

b) \(4n+27=4n+10+17=2\left(2n+5\right)+17⋮\left(2n+5\right)\Leftrightarrow17⋮\left(2n+5\right)\)mà \(n\)là số tự nhiên nên 

\(2n+5\inƯ\left(17\right)=\left\{1,17\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-2,6\right\}\)

mà \(n\)là số tự nhiên nên \(n=6\).

c) \(4n+49=4n+20+29=4\left(n+5\right)+29⋮\left(n+5\right)\Leftrightarrow29⋮\left(n+5\right)\)mà \(n\)là số tự nhiên nên 

\(n+5\inƯ\left(29\right)=\left\{1,29\right\}\Leftrightarrow n\in\left\{-4,24\right\}\)

mà \(n\)là số tự nhiên nên \(n=24\).

ta có :

2n + 7 = 2n + 2 + 5 

vì 2n + 2 = 2 . ( 1n + 1) mà 1n + 1 chia hết cho 1n + 1 

suy ra 2 . ( 1n + 1 ) chia hết cho 1n + 1

vì 2n + 2 + 5 chia hết cho 1n + 1 nên 5 phải chia hết cho 1n + 1

mà Ư(5) = 1 ; 5 nên 1n + 1 có giá tri là 1 hoac 5

nếu 1n + 1 = 5 thì 1n = 4 suy ra n = 4

nếu 1n + 1 = 1 thì 1n = o suy ra n = o

vay n có 2 giá tri là 4 và 0 .

n+1 là ước của 2n+7

=>2n+7\(⋮\)n+1(1)

Ta có: n+1\(⋮\)n+1

=>2.(n+1)\(⋮\)n+1

=>2n+2\(⋮\)n+1 (2)

Từ (1) và(2) suy ra (2n+7)-(2n+2)\(⋮\)n+1

=>2n+7-2n-2\(⋮\)n+1

=>5\(⋮\)n+1

=>n+1\(\in\)Ư(5)={1;5}

+)n+1=1=>n=1-1=>n=0\(\in\)N

+)n+1=5=>n=5-1=>n=4\(\in\)N

Vậy n\(\in\){0;4}

Chúc bn học tốt