Ok, tìm $x,y$ nguyên.

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow x^2+(4x^2-4xy+y^2)=169$

$\Leftrightarrow x^2+(2x-y)^2=169(*)$

Lại có:

Nếu $x,2x-y$ đều không chia hết cho $3$ thì:

$x^2\equiv (2x-y)^2\equiv 1\pmod 3$

$\Rightarrow x^2+(2x-y)^2\equiv 2\pmod 3$ hay $169\equiv 2\pmod 3$ (loại)

Nếu $x, 2x-y$ đều chia hết cho $3$ thì:

$x^2\equiv (2x-y)^2\equiv 0\pmod 3$

$\Rightarrow 169=x^2+(2x-y)^2\equiv 0\pmod 3$ (vô lý)

Do đó $x,2x-y$ có 1 số chia hết cho $3$

--------------------------------------------

Nếu $x$ chia hết cho $3$. Từ $(*)$ dễ thấy $-13\leq x\leq 13$

$\Rightarrow x\in\left\{-12;-9;-6;-3;0;3;6;9;12\right\}$
Thay vô $(*)$ thì ta có:

$(x,2x-y)=(\pm 12; \pm 5); (0;13); (0; -13)$

Hoán đổi $2x-y$ chia hết cho $3$ thì:
$(x,2x-y)=(\pm 5; \pm 12); (13;0); (-13;0)$

Từ đây:

$(x,y)=(-12; -29); (-12; -19); (12; 19); (12; 29); (0; -13); (0;13); (-5; -22); (-5; 2); (5; -2); (5; 22); (13;26); (-13; -26)$

Em xem có bổ sung điều kiện gì của $x,y$ không? Ví dụ $x,y$ nguyên, tự nhiên,........

\(3x^2+y^2+4xy=5x+2y+1\)

\(\Leftrightarrow3x^2+x\left(4y-5\right)+\left(y^2-2y-1\right)=0\left(1\right)\)

Coi phương trình (1) là phương trình ẩn x tham số y, ta có:

\(\Delta=\left(4y-5\right)^2-3.4.\left(y^2-2y-1\right)\)

\(=16y^2-40y+25-12y^2+24y+12\)

\(=4y^2-16y+37\)

Để phương trình (1) có nghiệm nguyên thì \(\Delta\) phải là số chính phương hay \(\Delta=4y^2-16y+37=a^2\) (a là số tự nhiên).

\(\Rightarrow4y^2-16y+16+21=a^2\)

\(\Rightarrow a^2-\left(2y-4\right)^2=21\)

\(\Rightarrow\left(a-2y+4\right)\left(a+2y-4\right)=21\)

\(\Rightarrow a-2y+4;a+2y-4\) là các ước số của 21.

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với \(y\ge2\Rightarrow a-2y+4\le a+2y-4\) và \(a+2y-4\ge0\) Lập bảng:

Với a=11, y=7. Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.7-5\right)+\sqrt{11^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.7-5\right)-\sqrt{11^2}}{6}=-\dfrac{17}{3}\left(loại\right)\)

Với \(a=5;y=3\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.3-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{1}{3}\left(loại\right)\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.3-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-2\) (loại vì x>0)

Với \(a=5;y=1\). Phương trình (1) có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-\left(4.1-5\right)+\sqrt{5^2}}{6}=1\)

\(x_2=\dfrac{-\left(4.1-5\right)-\sqrt{5^2}}{6}=-\dfrac{2}{3}\left(loại\right)\)

Vậy x,y nguyên dương thỏa mãn phương trình trên là \(x=y=1\)

Dòng 15 từ dưới đếm lên, sửa:

Với \(y< 2\Rightarrow a-2y+4>a+2y-4\) và \(a-2y+4>0\). Lập bảng:

<=> 25x^2-20xy+5y^2-30y+40 = 0 ( nhân 2 vế với 5 )

<=> (25x^2-20xy+4y^2)+(y^2-30y+225) = 185

<=>(5x-2y)^2+(y-15)^2 = 185 = 8^2 + 11^2

Đến đó bạn tự giải nha

k mk nha