* Đặt tên các biểu thức theo thứ tự là A,B,C,D,E.

Câu a)

Theo hằng đẳng thức đáng nhớ ta có:

\(a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(a+b)(b+c)(c+a)\)

\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+2abc]\)

\(=(a+b+c)^3-3[ab(a+b+c)+bc(b+c+a)+ca(c+a+b)-abc]\)

\(=(a+b+c)^3-3[(a+b+c)(ab+bc+ac)]+3abc\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ac)(a+b+c)\)

\(=(a+b+c)[(a+b+c)^2-3(ab+bc+ac)]\)

\(=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)\) (*)

Do đó:

\(A=\frac{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=a+b+c\)

Câu b)

\(x^3-y^3+z^3+3xyz=x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z\)

Sử dụng kết quả (*) của câu a. Với \(a=x, b=-y, c=z\)

\(\Rightarrow x^3+(-y)^3+z^3-3x(-y)z=(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)

Mặt khác xét mẫu số:

\((x+y)^2+(y+z)^2+(x-z)^2=x^2+2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2xz+z^2\)

\(=2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)\)

Do đó: \(B=\frac{(x-y+z)(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2+xy+yz-xz)}=\frac{x-y+z}{2}\)

Câu c) Sử dụng kết quả (*) của phần a:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)

Và mẫu số:

\((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)

Do đó: \(C=\frac{(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}{2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)}=\frac{x+y+z}{2}\)

Câu d)

Xét tử số:

\(a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)\)

\(=a^2(b-c)-b^2[(b-c)+(a-b)]+c^2(a-b)\)

\(=(b-c)(a^2-b^2)-(b^2-c^2)(a-b)\)

\(=(b-c)(a-b)(a+b)-(b-c)(b+c)(a-b)\)

\(=(a-b)(b-c)[a+b-(b+c)]=(a-b)(b-c)(a-c)\) (1)

Xét mẫu số:

\(a^4(b^2-c^2)+b^4(c^2-a^2)+c^4(a^2-b^2)\)

\(=a^4(b^2-c^2)-b^4[(b^2-c^2)+(a^2-b^2)]+c^4(a^2-b^2)\)

\(=(a^4-b^4)(b^2-c^2)-(b^4-c^4)(a^2-b^2)\)

\(=(a^2-b^2)(a^2+b^2)(b^2-c^2)-(b^2-c^2)(b^2+c^2)(a^2-b^2)\)

\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)[a^2+b^2-(b^2+c^2)]\)

\(=(a^2-b^2)(b^2-c^2)(a^2-c^2)\)

\(=(a-b)(b-c)(a-c)(a+b)(b+c)(c+a)\)(2)

Từ (1)(2) suy ra \(D=\frac{1}{(a+b)(b+c)(c+a)}\)

Câu e)

Theo phần d ta có:

\(TS=(a-b)(b-c)(a-c)\)

\(MS=ab^2-ac^2-b^3+bc^2\)

\(=b^2(a-b)-c^2(a-b)=(a-b)(b^2-c^2)=(a-b)(b-c)(b+c)\)

Do đó: \(E=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a-b)(b-c)(b+c)}=\frac{a-c}{b+c}\)

a. (a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2

b. (a+b)^3= (a+b)(a+b)(a+b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3b^2a + b^3

c. (a-b)^3= (a - b)(a-b)(a-b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + b^2a - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3

e. (a-b) ( a^2 + ab +b^2) = a^3 + a^2b + b^2a - ba^2 - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3

g. ( a-b) ( a+b) = a^2 +ab -ab - b^2 = a^2 - b^2