Ta có :

1820 = 7 . 13 . 20 nên từ 7x² + 13y² = 1820 suy ra x \(⋮\)13 và y \(⋮\)7

đặt x  = 13k ; y = 7t ( k, t \(\in\)N* ) , từ 7x² + 13y² = 1820 ta có :

7 . 13² . k² + 13 . 7² . t² = 1820

nên : 13k² + 7t² = 20

suy ra : k² = 1 ; t² = 1 vì k,t \(\in\)N* nên k = t = 1 do đó x = 13 , y = 7 

Vậy ...

y = 7 đó

Cho 3 số nguyên tố p, q, r sao cho p^q + q^p = r. Chứng minh rằng trong ba số p, q, r luôn có một số bằng 2.

Ta có :

1820 = 7 . 13 . 20 nên từ 7x² + 13y² = 1820 suy ra x ⋮⋮13 và y ⋮⋮7

đặt x  = 13k ; y = 7t ( k, t ∈∈N* ) , từ 7x² + 13y² = 1820 ta có :

7 . 13² . k² + 13 . 7² . t² = 1820

nên : 13k² + 7t² = 20

suy ra : k² = 1 ; t² = 1 vì k,t ∈∈N* nên k = t = 1 do đó x = 13 , y = 7 

Vậy ...

Ta có :

  1820 = 7 . 13 . 20 nên từ 7x² + 13y² = 1820 suy ra x ⋮ 13 và y ⋮ 7

Đặt x  = 13k ; y = 7t ( k, t ∈ N* ) , từ 7x² + 13y² = 1820 ta có :

  7 . 13² . k² + 13 . 7² . t² = 1820

nên : 13k² + 7t² = 20

suy ra : k² = 1 ; t² = 1 vì k,t ∈∈N* nên k = t = 1 do đó x = 13 , y = 7 

Vậy x = 13

       y = 7

Chúc bạn học tốt nhá

Gọi d là ước chung lớn nhất của x, y

\(\Rightarrow\left(x,y\right)=d\)

\(\Rightarrow x,y,z,t⋮d\)

\(\Rightarrow x=dx_1;y=dy_1;z=dz_1;t=dt_1;\)

Với \(x_1;y_1;z_1;t_1\in N;\left(x_1;y_1\right)=1\)

\(\Rightarrow14\left(x_1^2+y^2_1\right)=z_1^2+t_1^2⋮7\)

\(\Rightarrow z_1;t_1⋮7\)

\(\Rightarrow x_1^2+y_1^2⋮7\)

\(\Rightarrow x_1;y_1⋮7\)

Trái giả thuyết nên phương trình vô nghiệm nguyên.

7x² + 13y² = 1820

<=> 7x² = 1820 - 13y² (*)

Ta có 7x² ≥ 0 với mọi x,nên để pt có nghiệm thì: 1820 - 13y² ≥ 0

<=> 13y² ≤ 1820 <=> y² ≤ 140

<=> -√140 ≤ y ≤ √140 hay -11,8 ≤ y ≤ 11,8

Do y ε Z => y = { -11 ; -10 ; -9 ; ... ; 9 ; 10 ; 11}

▪ y = -11, thay vào (*) ta có : x² = 247/7 --> loại
▪ .... --> loại
▪ y = -7 ,thay vào (*) => x² = 169 <=> x = ±13
▪ .... --> loại
▪ y = 7 ,thay vào (*) => x² = 169 <=> x = ±13
▪ .... --> loại
▪ y = 11, thay vào (*) ta có : x² = 247/7 --> loại

Vậy các nghiệm nguyên của phương trình là :

( x ; y ) = ( 13 ; 7 ) ; ( 13 ; -7 ) ; ( -13 ; 7 ) ; ( -13 ; -7 )

Giả sử x;y là các số nguyên thỏa mãn phương trình 2x + 13y = 156

2x + 13y = 156 ⇒ 2x = 156 - 13y

Ta nhận thấy 13y và 156 đều chia hết cho 13.

Do đó 2x ⋮ 13

Đặt x = 13t (t ∈ Z) thay vào phương trình ta được:

2.13t + 13y = 156 ⇔ 26t + 13y = 156 ⇔ 2t + y = 12 ⇔ y = - 2t + 12