Ta có: \(A=1.3+2.4+3.5+4.6+...+99.101+100.102\)

\(A=1.\left(1+2\right)+2.\left(2+2\right)+3.\left(3+2\right)+4.\left(4+2\right)+....+99.\left(99+2\right)+100.\left(100+2\right)\)

\(A=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+...+99^2+100^2\right)+\left(2+4+6+8+...+198+200\right)\)Đặt \(B=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+99^2+100^2\)

\(\Rightarrow B=\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+99^2+100^2\right)-2^2.\left(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+....+49^2+50^2\right)\)Tính dãy tổng quát \(C=1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+...+n^2\)

\(C=1\left(0+1\right)+2\left(1+1\right)+3.\left(2+1\right)+4.\left(3+1\right)+5\left(4+1\right)+...+n\left[\left(n-1\right)+1\right]\)

\(C=\left[1.2+2.3+3.4+4.5+...+\left(n-1\right).n\right]+\left(1+2+3+4+5+....+n\right)\)

\(C=n.\left(n+1\right).\left[\left(n-1\right):3+1:2\right]=n.\left(n+1\right).\left(2n+1\right):6\)

Áp dụng vào B ta được:

\(B=100.101.201:6-4.50.51.101:6=166650\)

\(\Rightarrow A=166650+\left(200+2\right).100:2\)

\(\Rightarrow A=166650+10100=176750\)

Vậy A = 176750

Chúc bạn học tốt!!

a, 

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{x.\left(x+2\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\times\frac{x+1}{x+2}\)

\(=\frac{2x+2}{x+2}\)

Hơ hơ =v

Làm đại phần a đúng sai mặc kệ ~~

a,

\(\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+\frac{1}{5\cdot7}+...+\frac{1}{x\left(x+2\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1\cdot3}+\frac{2}{3\cdot5}+\frac{2}{5\cdot7}+...+\frac{2}{x\left(x+2\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{x+2}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\cdot\frac{x+1}{x+2}\)

\(=\frac{2x+2}{x+2}\)

b,

x = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ....+ 89.90

3x = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .... + 89.90

3x = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + 89.90.(91 - 88)

3x = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 89.90.91 - 88.89.90

3x = 89.90.91

x = \(\frac{89\cdot90\cdot91}{3}=242970\)

a) Đặt \(A=\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{x.\left(x+2\right)}\)

\(\Rightarrow2A=(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+...+(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2})\)

\(\Rightarrow A=1-\frac{1}{x+2}=\frac{x+1}{x+2}\)

b)\(x=1.2+2.3+3.4+...+89.90\)

\(\Rightarrow3x=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+89.98.(100-88)\)

\(\Rightarrow3x=1.2.3+2.3.4-1.2.3+...+89.90.100-88.89.90\)

\(\Rightarrow3x=89.90.100=872200\)

\(\Rightarrow x=\frac{872200}{3}\)

câu 1 

=> x+1/2+x+1/3+x+1/4-x-1/5-x-1/6=0

=> (x+x+x-x-x)+(1/2+1/3+1/4-1/5-1/6)=0

=> x+43/60=0

=> x = -43/60

câu dưới làm tương tự bạn nhé!

`#3107.101107`

\(B=4+4^2+4^3+...+4^{89}+4^{90}\)

\(=\left(4+4^2+4^3\right)+...+\left(4^{88}+4^{89}+4^{90}\right)\)

\(=4\left(1+4+4^2\right)+...+4^{88}\left(1+4+4^2\right)\)

\(=\left(1+4+4^2\right)\left(4+...+4^{88}\right)\)

\(=21\left(4+4^{88}\right)\)

Vì \(21\left(4+4^{88}\right)\) `\vdots 21`

`\Rightarrow B \vdots 21`

Vậy, `B \vdots 21.`

*định lý Py-ta-go:

trong tam giác vuông, tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền

*BĐT tam giác:

trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài 2 cạnh luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại

*các trường hợp bằng nhau của tam giác:

+ trường hợp bằng nhau thường của tam giác

+ cạnh - cạnh - cạnh

+ cạnh - góc - cạnh

+góc - cạnh -  góc

- Trường hợp bằng nhau đặc biệt của tam giác

+ cạnh huyền -  góc nhọn

+  cạnh góc vuông -  góc nhọn kề

+ 2 cạnh góc vuông

+ cạnh huyền -  cạnh góc vuông

a)Định lý Pi-ta-go

* Trong 1 tam giác vuông: bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông

VD: \(\Delta ABC:\)vuông tại A

Ta có BC² = AB² + AC²

b) Bất đẳng thức trong tam giác

*Định lý. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài hai cạnh còn lại

GT : ∆ ABC

KL :  AB +AC > BC

       AB + BC >AC

       AC + BC > AB

Tính chất góc ngoài

Tính chất. Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Các trường hợp bằng nhau của tam giác

* Tam giác thường

- cạnh - cạnh- cạnh

- cạnh- góc - cạnh

- góc - cạnh - góc

* Tam giác đặc biệt

- hai cạnh- góc vuông

- cạnh huyền - cạnh góc vuông

- cạnh huyền - góc nhọn

- cạnh góc vuông - góc nhọn kề nó

~ Hok Tốt ~

a, 

ta có  công thức \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)

áp dụng công thưc vào bài ta có \(4^2+5^2+6^2+...+89^2=\frac{89.\left(89+1\right)\left(2.89+1\right)}{6}-1^2-2^2-3^2\)

                                                                                                \(=\frac{89.90.179}{6}-1-4-9\)

                                                                                                 \(=\frac{1433790}{6}-1-4-9\)

                                                                                                 \(=238965-1-4-9\)

                                                                                                 \(=238951\)

b, ta có công thức \(1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

áp dụng vào bài ta có \(4.5+5.6+...+89.90=\frac{89.90.91}{3}-\frac{3.4.5}{3}\)

                                                                              \(=\frac{728910}{3}-\frac{60}{3}\)

                                                                               \(=242970-20\)

                                                                               \(=242950\)