Đáp án:

a) EFIK là hình thang cân.

b) FK = 1/2 MD.

Giải thích các bước giải:

Ta có: EF là đường TB của tam giác MBC => EF // BC.

IK là đường TB của tam giác ABD => IK // AB

=> EF // IK => EFIK là hình thang.

Ta có: Gọi N là trung điểm của BC ta có EF // NC, EF = NC => EFNC là hình bình hành => FN // EC

IN là đường TB của tam giác BCD => IN // BD.

Mà BD // MC (góc MCA = góc DBC = 60 độ, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị).

=> IN // MC

=> F, I, N thẳng hàng.

=> FI // MC.

Mà IK // AC => góc FIK = góc MCA = 60 độ.

CMTT ta có KE // MA. Mà KI // AC

=> góc EKI = góc MAC = 60 độ.

=> EFIK là hình thang cân.

=> EI = KF.

Mà EI là đường TB của tam giác CDM => EI = ½ MD

=> KF = ½ MD.

Cô hướng dẫn nhé.

a. FH // MC; KH // BD (Đường trung bìnhP

Vậy mà MN // DB (Góc đồng vị bằng nhau) nên  FH và KH cùng song song một đường thẳng. Vậy F , K , H thẳng hàng. Tương tự với E, I ,N.

b. EF // CH; IK // AC nên EF // IK. Vậy EFIK là hình thang.

Lại có \(\widehat{EIK}=\widehat{ENH}=\widehat{FHN}=\widehat{FKI}\) nên nó là hình thang cân.

c. Em xem lại đề nhé.

vẽ hình đi 

1. Chứng minh: Tứ giác EFIK là hình thang cân:

Gọi P là trung điểm của AM và S là trung điểm của BM.

Xét \(\Delta\)ACM: E là trung điểm CM, P là trung điểm AM => EP là đường trung bình \(\Delta\)ACM

=> EP//AC (*)

Ta có: ^DMB=^CAM=60⁰. Mà 2 góc này đồng vị => DM//AC (1)

Xét \(\Delta\)ADM: K là trung điểm AD, P là trung điểm AM

=> PK là đường trung bình \(\Delta\)ADM => PK//DM (2)

Từ (1) và (2) => PK//AC (**)

Từ (*) và (**) => 3 điểm E,K,P thẳng hàng

Tương tự: FS là đường trung bình \(\Delta\)CMB => FS//CM.

Mà CM//BD (Đồng vị) => FS//BD. Lại có: IS//BD => 3 điểm F,I,S thẳng hàng.

Xét  \(\Delta\)CMB: E là trung điểm CM, F là trung điểm BC

=> EF là đường trung bình của \(\Delta\)CMB => EF/MB => EF//AB (3)

Xét \(\Delta\)AMD: K là trung điểm AD, I là trung điểm DM

=> IK là đường trung bình \(\Delta\)AMD => IK//AM => IK//AB (4)

Từ (3) và (4) => EF//IK (5)

Do E,K,P thẳng hàng => ^EKI và ^EPS là 2 góc đồng vị. Mà IK//AB (KI//PS)

=> ^EKI=^EPS (6)

Tương tự F,I,S thẳng hàng; IK//PS => ^FIK=^FSP (Đồng vị) (7)

Ta thấy: EP//AC => ^EPS=^CAM=60⁰;  FS//BD => ^FSP=^DBM=60⁰

=> ^EPS=^FSP=60⁰ (8)

Từ (6); (7) và (8) => ^EKI=^FIK=60⁰ (9)

Từ (5) và (9) => Tứ giác EFIK là hình thang cân (đpcm)

2. Chứng minh KF=1/2CD:

Gọi N là trung điểm AB, Q là trung điểm AC.

Xét \(\Delta\)ADB: K là trung điểm AD, N là trung điểm AB

=> KN là đường trung bình của \(\Delta\)ADB => KN//BD và KN=1/2BD => KN=1/2DM (10)

PK là đường trung bình \(\Delta\)AMD (cmt) => PK=1/2DM (11)

Từ (10) và (11) => KN=PK

Xét \(\Delta\)ACM: Q là trung điểm AC, P là trung điểm AM

=> PQ là đường trung bình \(\Delta\)ACM => PQ//CM ;PQ=1/2CM (12)

NF là đường trung bình \(\Delta\)ABC => NF=1/2AC => NF=1/2CM (13)

Từ (12) và (13) => PQ=NF

Lại có: ^KPQ=^KNF=60⁰ (Tự tính)

Xét \(\Delta\)QKP và \(\Delta\)FKN có:

KP=KN (cmt)

^KPQ=^KNF       => \(\Delta\)QKP=\(\Delta\)FKN (c.g.c)

PQ=NF (cmt)

=> KQ=KF (2 canh tương ứng) (14)

Xét \(\Delta\)CAD: Q là trung điểm AC, K là trung điểm AD

=> KQ là đường trung bình \(\Delta\)CAD => KQ=1/2CD (15)

Từ (14) và (15) => KF=1/2CD (đpcm).

. Xét \(\Delta\) CMB có EF là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) EF // MB \(\Rightarrow\) EF // AB. (1)

Xét \(\Delta\)ADM có KI là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) KI // AM \(\Rightarrow\) KI // AB. (2)

Từ (1) và (2)

\(\Rightarrow\) Tứ giác EFIK là hình thang (*)

Gọi P; Q lần lượt là trung điểm của AM và BN.

Xét \(\Delta\) ACM có PE là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) PE // AC mà AC // MD (Do góc A = góc M = 60 ở vị trí đồng vị)

\(\Rightarrow\) PE // MD (3)

Mặt khác \(\Delta\)ADM có PK là đường trung bình của \(\Delta\).

\(\Rightarrow\) PK // MD (4)

Từ (3) và (4)

\(\Rightarrow\) P; E; K thẳng hàng mà PE // AC nên KE // AC (5).

Từ (2) và (5)

\(\Rightarrow\) CAB = EKI (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà CAB = 60 độ \(\Rightarrow\) EKI = 60 độ (**)

Chứng minh tương tự ta được F; I; Q thẳng hàng mà QF // MC nên IF // MC;

Lại có MC // BD nên FI // BD (6).

Từ (2) và (6)

\(\Rightarrow\) DBA = FIK (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng song song)

Mà DAB = 60 độ

\(\Rightarrow\) FIK = 60 độ (***)

Từ (*); (**) và (***)

\(\Rightarrow\) EFIK là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bàng nhau là hình thang cân)

\(\Rightarrowđcpm\)

7jhjjjjhbn