a)cmr:
\(\dfrac{n^5}{5}=\dfrac{n^3}{3}=\dfrac{7n}{15}\) là số nguyên với mọi n \(\in Z\)
b)cmr:với n chẵn thì \(\dfrac{n}{12}+\dfrac{n^2}{8}+\dfrac{n^3}{24}\) là số nguyên
a)cmr:
\(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}\) là số nguyên với mọi n ∈Z∈Z
b)cmr:với n chẵn thì \(\frac{n}{12}+\frac{n^2}{8}+\frac{n^3}{24}\) là số nguyên
a, Ta có: \(\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+\frac{n}{3}+\frac{7n}{15}\)
\(=\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\)
Chứng minh \(n^5-n⋮5\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}\in Z\)
\(n^3-n⋮3\Rightarrow\frac{n^3-n}{3}\in Z\)
\(\Rightarrow\frac{n^5-n}{5}+\frac{n^3-n}{3}+n\in Z\)
=> Đpcm
b, Tương tự dùng tính chất chia hết
CMR với n thuộc Z thì giá trị của b là một số nguyên
\(B=\dfrac{n^4}{24} +\dfrac{n^3}{4}+ \dfrac{11n^2}{24}+ \dfrac{n}{4}\)
\(B=\frac{n^4}{24}+\frac{n^3}{4}+\frac{11n^2}{24}+\frac{n}{4}\)
\(B=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n}{24}\)
\(B=\frac{n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\left(n+2\right)}{24}\)
\(B=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+3\right)\left(n+2\right)}{24}\)
Lập luận là ra
CMR \(A=\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{7n}{15}\)ϵ Z với nϵZ
CMR nếu n ∈ Z thì \(\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{7n}{15}\) là số nguyên
Bài 1: CMR với n ϵ Z các phân số sau tối giản
a) \(\dfrac{n}{2n+1}\)
b) \(\dfrac{n+5}{n+6}\)
c) \(\dfrac{n+1}{2n+3}\)
d) \(\dfrac{3n+2}{5n+3}\)
e)\(\dfrac{1}{7n+1}\)
Các bạn giải chi tiết cho mình nhé. Thanks all !
Bài 4. Cho n là số nguyên. Chứng minh rằng \(\dfrac{n^5}{5}+\dfrac{n^3}{3}+\dfrac{7\times n}{15}\) có giá trị nguyên.
cho mọi số nguyên dương n>2 cmr \(\dfrac{1}{3}\)\(\dfrac{ }{ }\). \(\dfrac{4}{6}.\dfrac{7}{9}.\dfrac{10}{12}........\dfrac{3n-2}{3n}.\dfrac{3n+1}{3n+3}< \dfrac{1}{3\sqrt{n+1}}\)
Tìm n ϵ Z sao cho n là số nguyên
\(\dfrac{2n-1}{n-1};\dfrac{3n+5}{n+1};\dfrac{4n-2}{n+3};\dfrac{6n-4}{3n+4};\dfrac{n+3}{2n-1};\dfrac{6n-4}{3n-2};\dfrac{2n+3}{3n-1};\dfrac{4n+3}{3n+2}\)
chứng tỏ rằng S = \(\dfrac{3}{4}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{15}{16}+...+\dfrac{n^2-1}{n^2}\) không là số tự nhiên với mọi
n\(\in\) N, n>2
\(S=\left(1-\dfrac{1}{4}\right)+\left(1-\dfrac{1}{9}\right)+\left(1-\dfrac{1}{16}\right)+...+\left(1-\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=\left(1+1+...+1\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)\\ S=n-1-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}\right)< n-1\)
Lại có \(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+..+\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{n^2}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+...+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{n\left(n-1\right)}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}=1-\dfrac{1}{n}< 1\)
\(\Rightarrow S>n-1-1=n-2\\ \Rightarrow n-2< S< n-1\\ \Rightarrow S\notin N\)