Ta cm được: \(a^2+b^2+c^2\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

\(A=x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)

Min A = 1/3 khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Cộng theo vế ta có:

\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" khi x=y=z=1

xin cho mình hỏi sao x+y+z lại\(\ge\)xy+yz+zx vậy

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)

<=>\(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

<=>\(\left(a+b+c\right)^2\ge9\)

<=>\(a+b+c\ge3\)

đầu tiên ta chứng minh với x,y,z,t bất kì thì:

\(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\) (*)

thật vậy bđt (*) tương đương với: 

\(x^2+y^2+z^2+t^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge xz+yt\)

bđt trên đúng vì theo bđt bunhia cốp xki

\(\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}\ge\sqrt{\left(xz+yt\right)^2}=|xz+yt|\ge xz+yt\)

Áp dụng (*) ta có:

\(P=\sqrt{4+x^4}+\sqrt{4+y^4}+\sqrt{4+z^4}\ge\sqrt{\left(2+2\right)^2+\left(x^2+y^2\right)^2}+\sqrt{4+z^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(2+2+2\right)^2+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}=\sqrt{36+\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Ta có:

\(\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2+\left(z-1\right)^2+\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow3x^2+3y^2+3z^2+3\ge2x+2y+2z+2xy+2yz+2zx=2.6=12\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge3\Rightarrow P\ge\sqrt{36+3}=3\sqrt{5}\)

Dấu bằng xảy ra khi x=y=z=1