Nếu a+b+c = 0 hoặc a =b=c thì a^3 + b^3 + c^3 = 3abc 

Sử dụng tính chất trên ta được : 

( x - y )^3 + ( y -z )^3 + ( z - x )^3 = 3( x -y )(y -z )( z -x ) 

Nếu x ,y, z có cùng số dư khi chia cho 3 => 

x-y , y- z , z - x :/ 3 ( :/ là kí hiệu chia hết ) 

=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27

,G/S trong ba số x,y,z ko có số nào có cùng số dư khi chia hết cho 3 

=> ( x -y )(y -z )( z -x ) ko chia hết cho 3 

Từ G/S => x,y,z chia 3 sẽ có 3 số dư là 0,1,2 

=> x+y +z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 ( Vô lý ) 

Vậy trong ba số x,y,z có hai số có cùng số dư khi chia cho 3 . G/S đó là x,y 

=> ( x -y )(y -z )( z -x ) :/3 => x +y +z :/3 

1,Nếu x,y :/ 3 => z :/3 => ( x -y )(y -z )( z -x ) :/27 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 

2,Nếu x,y chia 3 dư 1 , x+y+z :/3 => z chia 3 dư 1 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 

3,Nếu x,y chia 3 dư 2 , x+y + z :/3 => z chia 3 dư 2 => 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27

Tóm lại 3( x -y )(y -z )( z -x ) :/ 27 hay M=(x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3 :/ 27

tích nha

cau kia tra loi dung roi cau a

 Ta có: 1975^430 có chữ tận cùng bằng 5; suy ra 1975^430+2004 có chữ số tận cùng bằng 9. 
Mặt khác: 1980*z tận cùng bằng 0với mọi z . Giả sử tồn tại các số tự nhiên x;y;z thỏa mãn biểu thức đã cho thì 19^x+5^y phải có chữ số tận cùng bằng 9 (1) 
Số 19^x chỉ tận cùng bằng 1 hoặc 9 với mọi x; 5^y có chữ số tận cùng bằng 1(y=0) hoặc 5 
Nếu 19^x tận cùng bằng 1 thì theo (1) 5^y tận cùng bằng 8 ( vô lý) 
Nếu 19^x tận cùng bằng 9 thì theo (1) 5^y tận cùng bằng 0 ( vô lý) 
Vậy không tồn tai các số tự nhiên x;y;z để 19^x+5^y+1980*z= 1975^430+2004

cách 2

thành 1980 * z, và xét cả th số tự nhiên là 0), không biết bạn có sửa lại không 
Tôi chẳng đăng ký bản quyền làm gì nhưng làm thế là rất xấu 
--------------- 
Với tôi số tự nhiên là > 0. Nếu bạn có cả số 0 thì cũng được 
19^x + 5^y + 1980 * z= 1975^430 + 2004 ♦ 
--- 
19^x chỉ tận cùng là 1 hoặc 9: 9^0 = 1, 9*9 = 8(1), 1*9 = 9 
5^y chỉ tận cùng là 1 hoặc 5: 5^0 = 1, 5^n tận cùng là 5 với n ≥ 1 
=> VT chỉ tận cùng là 0, 2, 4 hoặc 6 
tương tự có VP tận cùng là 9 
=> không tồn tại x, y, z sao cho tm ♦ 
---------- 
Nếu đề bài là + 1980^z thì VT chỉ tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 và ta cũng có kết luận tương tự

chuẩn

Hay quá

Ta đặt \(A=\left(x-y\right)^5+\left(y-z\right)^5+\left(z-x\right)^5\) . Ta sẽ phân tích A thành nhân tử:

\(A=\left(x-y+y-z\right)\left[\left(x-y\right)^4-\left(x-y\right)^3\left(y-z\right)+...-\left(x-y\right)\left(y-z\right)^3+\left(y-z\right)^4\right]\)+ \(\left(z-x\right)^5\)

\(A=\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)^4-\left(x-y\right)^3\left(y-z\right)+...-\left(x-y\right)\left(y-z\right)^3+\left(y-z\right)^4\right]\)+ \(\left(z-x\right)^5\)

\(A=\left(x-z\right)\left[\left(x-y\right)^4-\left(x-y\right)^3\left(y-z\right)+...-\left(x-y\right)\left(y-z\right)^3+\left(y-z\right)^4-\left(z-x\right)^4\right]\)

\(A=\left(x-z\right).B\)

Ta phân tích \(\left(y-z\right)^4-\left(z-x\right)^4=\left[\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\left(x+y-2z\right)\left(y-x\right)\)

và \(\left(x-y\right)^4-\left(x-y\right)^3\left(y-z\right)+...-\left(x-y\right)\left(y-z\right)^3\)

\(=\left(x-y\right)\left[\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)+\left(x-y\right)\left(y-z\right)^2-\left(y-z\right)^3\right]\)

Đặt \(C=\left(x-y\right)^3-\left(x-y\right)^2\left(y-z\right)+\left(x-y\right)\left(y-z\right)^2-\left(y-z\right)^3\)

 \(D=\left[\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\right]\left(x-z+y-z\right)\)

\(=\left(x-z\right)\left(y-z\right)^2+\left(y-z\right)^3-\left(z-x\right)^3+\left(y-z\right)\left(z-x\right)^2\)

\(C-D=\left(y-z\right)\left[-\left(x-y\right)^2-3\left(y-z\right)^2-\left(z-x\right)^2-\left(x-y\right)^2+\left(x-y\right)\left(z-x\right)-\left(z-x\right)^2\right]\)

 \(=\left(y-z\right)\left[5\left(-x^2+xy-y^2-z^2+yz+zx\right)\right]\)

Vậy \(A=5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

Vậy \(A=\left(x-z\right)\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)\)

nên chia hết cho \(5\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)

e ko hỉu khúc C-D cho lắm

\(\text{Ta có:}\)

\(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}\left(x,y,z>0\right)\ge\frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}\ge\frac{3}{\frac{x+y+z}{3}}=\frac{9}{x+y+z}\)

\(\frac{y+z+5}{1+x}+\frac{z+x+5}{1+y}+\frac{x+y+5}{1+z}\)

\(=\frac{x+y+z+6}{1+x}+\frac{x+y+z+6}{1+y}+\frac{x+y+z+6}{1+z}-3\)

\(=\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}-3\ge\frac{51}{7}\Leftrightarrow\frac{24}{1+x}+\frac{24}{1+y}+\frac{24}{1+z}\ge\frac{72}{7}\)

\(24\left(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\right)\ge24\left(\frac{9}{x+1+y+1+z+1}\right)\)

\(=24\left(\frac{9}{21}\right)=\frac{24.9}{21}=\frac{8.9}{7}=\frac{72}{7}\)

Bài toán đã được chứng minh

\(\text{Thêm dấu "=" xảy ra khi: x=y=z=6 nha! =((}\)

Thanks zZz Phan Gia Huy ZZz nha!!!😊😊😊