Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn HUyền Hảo
Xem chi tiết
Pham van Thuy
Xem chi tiết
Võ Trường Giang
Xem chi tiết
Vu Ngoc Anh
Xem chi tiết
Lê Đức Cường
Xem chi tiết
Cô Gái Mùa Đông
Xem chi tiết
KCLH Kedokatoji
15 tháng 10 2020 lúc 19:16

a) Áp dụng bđt AM-GM: \(+\hept{\begin{cases}x^2+y^2\ge2xy\\y^2+z^2\ge2yz\\z^2+x^2\ge2zx\end{cases}}\)\(\Rightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" xay ra khi \(x=y=z\)

b) Bổ đề; \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng : \(A=x^2+y^2+z^2\ge\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

c) Bổ đề: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Áp dụng: \(B\le\frac{3^2}{3}=3\). Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

d) \(A+B=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(=\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)^2=6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Khách vãng lai đã xóa
Khánh Ngọc
15 tháng 10 2020 lúc 19:39

Bài này tuy dễ nhưng hơi loằng ngoằng giữa các câu :))

a. Cách phổ thông : x2 + y2 + z2\(\ge\)xy + yz + zx

<=> 2 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)2 ( xy + yz + zx )

<=> ( x2 - 2xy + y2 ) + ( y2 - 2yz + z2 ) + ( z2 - 2zx + x2 )\(\ge\)0

<=> ( x - y )2 + ( y - z )2 + ( z - x )2\(\ge\)0 ( * )

Vì ( x - y )2 \(\ge\)0 ; ( y - z )2 \(\ge\)0 ; ( z - x )2\(\ge\)0\(\forall\)x ; y ; z

=> ( * ) đúng 

=> A\(\ge\)B ; dấu "=" xảy ra <=> x = y = z

b. Xài Cauchy cho mới

( x2 + y2 + z2 ) ( 12 + 12 + 12 )\(\ge\)( x + y + z )2 = 32 = 9

<=> 3 ( x2 + y2 + z2 )\(\ge\)

<=> x2 + y2 + z2\(\ge\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy minA = 3 <=> x = y = z = 1

c. Theo câu a và câu b ta có : 3 ( xy + yz + zx )\(\le\)( x + y + z )2 = 32 = 9

<=> xy + yz + zx\(\le\)3

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = 1

Vậy maxB = 3 <=> x = y = 1

d. x + y + z = 3 . BP 2 vế ta được

x2 + y2 + z2 + 2( xy + yz + zx ) = 9

Hay A + 2B = 9 . Mà B\(\le\)3 ( câu b )

=> A + B \(\ge\)6

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1

Vậy min A + B = 6 <=> x = y = z = 1

Khách vãng lai đã xóa
KCLH Kedokatoji
15 tháng 10 2020 lúc 19:41

b) Cái này là bạn đang chứng minh dùng CBS mà ?

Khách vãng lai đã xóa
Lê Hoàng Thái
Xem chi tiết
Girl
24 tháng 2 2019 lúc 22:15

\(x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz\)

\(=\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz\right)-\left(xy+yz+xz\right)\)

\(=\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\)

Mặt khác: \(xy+yz+xz\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2-\left(xy+yz+xz\right)\ge\left(x+y+z\right)^2-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=9-3=6\)

"=" khi a=b=c=1

long Bui
Xem chi tiết
Hoang Thanh Hai
Xem chi tiết