\(x^4-3x^3-6x^2+3x+1\)

\(=x^4-2x^2+1-3x^3+3x-4x^2\)

\(=\left(x^2-1\right)^2-3x\left(x^2-1\right)-4x^2\)

đặt \(a=x^2-1\) khi đó biểu thức trở thành

\(a^2-3ax-4x^2\)

\(=a^2+ax-4ax-4x^2\)

\(=\left(a+x\right)\left(a-4x\right)\)

\(=\left(x^2+x-1\right)\left(x^2-4x+1\right)\)

Do (x,y)=5 nên x,y chia hết cho 5=>x=5k,y=5m, m,n nguyên tố cùng nhau

mà x+y=12

=>10.(k+m)=12

=>k+m=6/5(1)

Do x,y nguyên nên k,m cũng nguyên nên k+m là số nguyên ( trái với (1))

=> x,y ko tồn tại

BĐT\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le2\left(x^3+y^3\right)^2\)( đúng theo BĐT holder)

Hay AM-GM:

\(\dfrac{x^3}{x^3+y^3}+\dfrac{x^3}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^6}{2\left(x^3+y^3\right)^2}}=\dfrac{3x^2}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\)

\(\dfrac{y^3}{x^3+y^3}+\dfrac{y^3}{x^3+y^3}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{3y^2}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\)

Cộng theo vế:

\(3\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{\sqrt[3]{2\left(x^3+y^3\right)^2}}\Leftrightarrow2\left(x^3+y^3\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)

Dấu = xảy ra khi x=y

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(2(x^3+y^3)^2\geq (x^2+y^2)^3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\((x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2\Rightarrow x^3+y^3\geq \frac{(x^2+y^2)^2}{(x+y)}\)

\(\Leftrightarrow 2(x^3+y^3)^2\geq \frac{2(x^2+y^2)^4}{(x+y)^2}\)

Theo BĐT Am-Gm:

\((x+y)^2\leq 2(x^2+y^2)\Rightarrow 2(x^3+y^3)^2\geq \frac{2(x^2+y^2)^4}{2(x^2+y^2)}=(x^2+y^2)^3\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}a-b=x\\b-c=y\\c-a=z\end{matrix}\right.\)thì \(x+y+z=0\).Ngoài ra còn suy ra được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-z\\y+z-x\\x+z=-y\end{matrix}\right.\)

Xét \(A=x^4+y^4+z^4\)

Khai triển Newton để có được :

\(\left(x+y+z\right)^4=\sum x^4+4\sum xy\left(x^2+y^2\right)+12xyz\left(x+y+z\right)+6\sum x^2y^2\)

Vì x+y+z=0 nên \(\sum x^4=x^4+y^4+z^4=-4\sum xy\left(x^2+y^2\right)-6\sum x^2y^2\)

Mà \(-4\sum xy\left(x^2+y^2\right)=-4\sum xy\left[\left(x+y\right)^2-2xy\right]=-4\sum xyz^2+8\sum x^2y^2\)(*)

\(\Rightarrow x^4+y^4+z^4=2\sum x^2y^2-4\sum xyz^2\)

\(=2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2-2xyz^2-2xy^2z-2x^2yz\right)\)

( hm ,có biến ? )

Thực ra từ chỗ (*) thì z ( hoặc x hay y) chưa biết dương hay âm nên có thể đổi thành - z²

Khi đó \(A=2\left(xz+yz-xy\right)^2\)

\(\Rightarrow Bt=\sqrt{2A}=2\left|xz+yz-xy\right|\in Q\)

Câu hỏi đặt ra: liệu có luôn biến đổi được như vậy ? trong trường hợp cả 3 số > 0 thì sao ? Câu trả lời là có.Bởi Vì x+y+z=0 nên phải có ít nhất 1 số khác dấu với 2 số còn lại ( hay dựa vào x+y=-z )

(1)\(\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)=\left(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{xy}{z+x}+\frac{xz}{x+y}\right)+\left(\frac{yx}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{yz}{x+y}\right)+\left(\frac{xz}{y+z}+\frac{zy}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)\right)+\)

(2)\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(\frac{xz+yz}{x+y}\right)+\left(\frac{xy+zy}{z+x}\right)+\left(\frac{xy+xz}{z+y}\right)\)

(3)\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(\frac{\left(x+y\right)z}{x+y}\right)+\left(\frac{\left(z+x\right)y}{z+x}\right)+\left(\frac{\left(z+y\right)x}{z+y}\right)\)

(4) \(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(z\right)+\left(y\right)+\left(x\right)\)

p/s: Thường mình không cần nhân hết --> mình nhân hết cho bạn hiểu chi tiết luôn:

(1) nhân bình thường lần lượt ra.

(2) ghép từng cặp theo định hướng (...)

(2).1 (...) giống A luôn

(2).2 (..)+(..)+(..) các số hạng có mẫu số giống nhau

(3) đặt thừa số chung ra

(4) giản ước tử và mẫu

ok!!!

Trả lời nhanh A=0

chi tiết:

\(C=x+y+z\ne0\) chứng minh đơn giản

\(B=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\\ \)

Nhân B với C: \(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}\right)+\left(\frac{y^2}{x+z}\right)+\left(\frac{z^2}{y+x}\right)+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)

=> A=0

1) \(\frac{4}{5}.x=\frac{8}{35}\Rightarrow x=\frac{8}{25}:\frac{4}{5}\Rightarrow x=\frac{2}{5}\)

       \(\frac{2}{3}.x+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}\Rightarrow\frac{2}{3}.x=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}\)

                                          \(\Rightarrow\frac{2}{3}.x=\frac{1}{3}\)

                                         \(\Rightarrow x=\frac{1}{3}:\frac{2}{3}\)

                                              \(x=\frac{1}{2}\)

\(\frac{x}{10}=\frac{3}{10}\Rightarrow x=\frac{10.3}{10}\Rightarrow x=3\)

a) Ta có: \(\frac{-6}{12}< \frac{x}{12}< \frac{-4}{12}\Rightarrow-6< x< -4\Rightarrow x=-5\)

b) \(\frac{-6}{5}+\frac{13}{15}< \frac{x}{15}< \frac{-2}{5}+\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow\frac{-1}{3}< \frac{x}{15}< \frac{-1}{15}\)

\(\Rightarrow\frac{-5}{15}< \frac{x}{15}< \frac{-1}{15}\)

\(\Rightarrow-5< x< -1\)

\(\Rightarrow x=\left\{-4;-3;-2\right\}\)