1.2 + 2.3 + 3.4+...+n.( n+1)=A

 =>3.A=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5 -2)...+ n.(n+1) . ((n+2) - (n-1))

 =>3.A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+ (n-1) . n. (n+1)+ n. (n+1). (n+2) - 0.1.2 -1.2.3 -2.3.4 -3.4.5 -...(n-1)n(n+1)

  =>3A=n.(n+1).(n+2)

  => A=n.(n+1).(n+2)\3 

Đặt A=1.2 + 2.3 + 3.4+...+n.( n+1)

=>3A=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+n.(n+1).3

=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+n.(n+1).[(n+2)-(n-1)]

=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+n.(n+1)(n+2)-(n-1).n.(n+2)

=n.(n+1)(n+2)-0

=n.(n+1)(n+2)

=>A=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{2003\cdot2004}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2003}-\frac{1}{2004}\)

\(=1-\frac{1}{2004}\)

\(=\frac{2004}{2004}+\frac{-1}{2004}=\frac{2003}{2004}\)

                                    #Hoq chắc _ Baccanngon

1. 3S= 1.2.(3-0)+ 2.3.(4-1)+...+ n.(n+1).[(n+2)-(n-1)] 
=[1.2.3+ 2.3.4+...+ (n-1)n(n+1)+ n(n+1)(n+2)]- [0.1.2+ 1.2.3+...+(n-1)n(n+1)] 
=n(n+1)(n+2) 
=>S 

Biểu thức này dùng để tính tổng 1^2+..+n^2 rất tiện và thực tế cũng là ket quả của hệ quả trên. 
dùng cách thức tương tự có thể tính S=1.2.3+...+ n(n+1)(n+2) từ đó suy ra tổng 1^3+...+n^3 
Việc sử dụng trước kết quả tổng 1^2+...+n^2 theo tôi là ngược tiến trình.

2. S = 1.2.3 + 2.3.4 +..+ (n-1).n.(n+1) 

4S = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 +..+ (n-1)n(n+1).4 

ghi dọc cho dễ nhìn: 
(k-1)k(k+1).4 = (k-1)k(k+1)[(k+2) - (k-2)] = (k-1)k(k+1)(k+2) - (k-2)(k-1)k(k+1) 
ad cho k chạy từ 2 đến n ta có: 
1.2.3.4 = 1.2.3.4 
2.3.4.4 = 2.3.4.5 - 1.2.3.4 
3.4.5.4 = 3.4.5.6 - 2.3.4.5 
... 
(n-2)(n-1)n.4 = (n-2)(n-1)n(n+1) - (n-3)(n-2)(n-1)n 
(n-1)n(n+1).4 = (n-1)n(n+1)(n+2) - (n-2)(n-1)n(n+1) 
+ + cộng lại vế theo vế + + (chú ý cơ chế rút gọn) 
4S = (n-1)n(n+1)(n+2) 

3. 

A =1.2+2.3+3.4+.............+n(n+1)
   =1(1+1) + 2(2+1) + 3(3+1) +...+n(n+1)
   =(1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2) + (1 + 2 + 3 + ...+ n)
Ta có các công thức:
1^2 + 2^2 + 3^2 +...+ n^2 = n(n+1)(2n+1)/6
1 + 2 + 3 + ...+ n = n(n+1)/2
Thay vào ta có:
S = n(n+1)(2n+1)/6 + n(n+1)/2
=n(n+1)/2[(2n+1)/3 + 1]
=n(n+1)(n+2)/3

\(A=1.2+2.3+3.4+...+n\left(n+1\right)\)

\(3A=1.2.3+2.3.4+3.4.3+..+3n\left(n+1\right)\)

\(=1.2.3+2.3\left(4-1\right)+3.4\left(5-2\right)+...+n\left(n+1\right)\left[\left(n+2\right)-\left(n-1\right)\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

ko chắc vì mk làm qua lâu òi hc tốt ~~:B~~

A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n.(n + 1)

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + n.(n + 1).3

     = 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + ... + n.(n + 1). [(n + 2) - (n - 1)]

     = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + n . (n + 1) . (n + 2) - (n - 1) . n . (n + 1)

     = n . (n + 1) . (n + 2)

=> A = \(\frac{n.\left(n+1\right).\left(n+2\right)}{3}\)

Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: 

Gọi a₁ = 1.2 → 3a₁ = 1.2.3 → 3a₁ = 1.2.3 - 0.1.2
      a₂ = 2.3 → 3a₂ = 2.3.3 → 3a₂ = 2.3.4 - 1.2.3
      a₃ = 3.4 → 3a₃ = 3.3.4 → 3a₃ = 3.4.5 - 2.3.4
      …………………..
      a_n-1 = (n - 1)n → 3a_n-1 =3(n - 1)n → 3a_n-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n
      a_n = n(n + 1) → 3a_n = 3n(n + 1) → 3a_n = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)

Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có:

3(a₁ + a₂ + … + a_n) = n(n + 1)(n + 2)

ta thấy mỗi hạng tử của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp , khi đó:

gọi a₁=1.2=>3a₁=1.2.3=>3a₁=1.2.3-0.1.2

a₂=2.3=>3a₂=2.3.3=>3a₂=2.3.4-1.2.3

a₃=3.4=>3a₃=3.3.4=>3a₃=3.4.5-2.3.4

 .......

a_n-1=(n-1)n=>3a_n-1=3(n-1)n=>3a_n-1=(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n

a_n=n(n+1)=>3a_n=3n(n+1)=>3a_n=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

cộng các vế đẳng thức trên ta có:

3a₁+3a₂+...+3a_n-1+3a_n=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+...+(n-1)n(n+1)-(n-2)(n-1)n+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)

=>3(a₁+a₂+...+a_n-1+a_n)=n(n+1)(n+2)

mà A=a₁+a₂+...+a_n-1+a_n nên 

\(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)

tick đã tui mới làm cho

3A=1.2.3+2.3.3+...+n(n+1).3

3A=1.2(3-0)+2.3(4-1)+...+n(n+1)[(n+2)-(n-1)]

3A=(1.2.3-0.1.2)+(2.3.4-1.2.3)+...+[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]

3A=n(n+1)(n+2)

A=\(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)