+) Ta có: Góc DAC = DAB + BAC = 90^o + BAC

Góc BAE = CAE + BAC = 90^o + BAC

=> góc DAC = BAE

Xét tam giác DAC và BAE có: DA = BA ; góc DAC = BAE; AC = AE 

=> tam giác DAC = BAE (c-g-c) => DC= BE và góc AEB = ACD 

Gọi O là giao của CD và BE; H là giao của AC và BE

+) Xét Tam giác AEH vuông  có: Góc AEH + AHE = 90^o

Mà góc AEH = ACD ; AHE = OHC ( đối đỉnh)

=> góc ACD + OHC = 90^o 

Xét tam giác HOC có góc HOC = 180^o - ( ACD + OHC) = 90^o => BOC = 90^o ( kề bù)

- Gọi K là giao của CD và BF 

ta có: góc KFC = KOB ( cùng = 90^o); góc OKB = FKC (đối đỉnh)

=> góc OBF = FCK  hay EBF = FCD 

+) Xét tam giác FCD và FBE có: FC = FB (gt); góc FCD = FBE ; CD = BE ( chứng minh trên)

=> tam giác FCD = FBE (c- g- c)

=> FD = FE  => tam giác FDE cân tại F   (*)

Lại có: góc DFC = BFE  mà góc DFC = DFB + BFC  ; góc BFE = BFD +DFE 

=> góc BFC = DFE ; góc BFC = 90^o ( giả thiết) => góc DFE = 90^o => tam giác DFE vuông tại F   (**)

Từ (*)(**) => tam giác DFE vuông cân tại F

\(\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=90^o+60^o=150^o\)

Ta có 

AB=AC (tg ABC cân)

AE=AC (Tg ACE là tg đều)

=> AB=AE => tam giác ABE cân tại A

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{AEB}=\frac{\left(180^o-\widehat{BAE}\right)}{2}=\frac{180^o-150^o}{2}=15^o\)

Xét tg cân ABD ta có

\(\widehat{ABD}=\widehat{BAD}=\frac{\left(180^o-\widehat{ADB}\right)}{2}=\frac{180^o-150^o}{2}=15^o\)

Suy ra từ B có 2 đoạn thẳng BE bà BD cùng tạo với AB 1 góc 15 độ => BD trùng BE nên B; D; E thẳng hàng

vì E nằm trong tam giác nê góc ABE < gócABC => ABE < 45 độ 
trong tam giác ABE có 
góc AEB = 180 - ( BAE + ABE) = 180 - 75 - ABE= 105 - ABE >105 - 45 = 60 độ ( tự tính góc BAE nhé) 
do đó ta dựng tam giác đều DAB sao cho hai điểm D và B cùng thuộc một nửa mặt phảng bờ AE. 
xét tam giác ADB và tam giác AEC có AB = AC (gt); BAD = CAE = 15 độ ( tự tính góc BAD); AD = AE ( tg ADE đều) => tg ADB = tg AEC ( c,g,c) => góc ADB = góc AEC ( hai góc tương ứng) 
=> góc ADB = 150 độ ( vì AEC = 150 Tự tính nhé) 
Lại có góc ADB + góc BDE + góc ADE = 360 độ hay 150 độ + BDE + 60 độ = 360 độ 
=> góc BDE = 150 độ. 
tg ADB và tg EDB có AD = DE ( tg ADE đều); ADB = EDB = 150 độ; BD là cạnh chung 
=> tg ADB = tg EDB ( c, g, c) 
=> góc DEB = góc BAD = 15 độ 
mà AEB = AED +DEB = 60 + 15 = 75 độ

Bài này có câu tương tự mà :))

Bài 1 :

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.