Cần CM : \(a^{k+1}-a^k\ge a-1\)\(\left(k\inℕ\right)\) (1) 

\(\Leftrightarrow\)\(a^k\left(a-1\right)-\left(a-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)\left(a^k-1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-1\right)^2\left(a^{k-1}-a^{k-2}+a^{k-3}-a^{k-4}+...+1\right)\ge0\) ( đúng ) 

=> (1) đúng 

Áp dụng vào bài toán,với k = 7 ta có \(\hept{\begin{cases}a^8-a^7\ge a-1\\b^8-b^7\ge a-1\end{cases}}\Rightarrow a^8+b^8-a^7-b^7\ge a+b-2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(a^8+b^8\ge a^7+b^7\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Thay b = 2 - a vào phân tích ta được:

VT - VP =  

Ối nó ko hiện ảnh nên chị vào thống kê hỏi đáp của em xem nha!

Lời giải

Cách giải đơn giản nhất là khai triển

\(3(a^8+b^8+c^8)\geq (a^3+b^3+c^3)(a^5+b^5+c^5)\)

\(\Leftrightarrow 2(a^8+b^8+c^8)\geq a^5(b^3+c^3)+b^5(c^3+a^3)+c^5(a^3+b^3)\)

\(\Leftrightarrow (a^3-b^3)(a^5-b^5)+(b^3-c^3)(b^5-c^5)+(c^3-a^3)(c^5-a^5)\geq 0(\star)\)

Xét \((a^3-b^3)(a^5-b^5)=(a-b)^2(a^2+b^2)(a^4+a^3b+a^2b^2+ab^3+b^4)\geq 0\) với mọi \(a,b>0\)

và tương tự với các biểu thức còn lại.

Suy ra BĐT \((\star)\) luôn đúng.

Ta có đpcm

Đây chính là một dạng của BĐT Chebyshev:

Với dãy số thực \(a_1\leq a_2\leq ....\leq a_n\) . Nếu tồn tại dãy số thực\(b_1\leq b_2\leq .... \leq b_n\) thì \(n(a_1b_1+a_2b_2+....+a_nb_n)\geq (a_1+a_2+...+a_n)(b_1+b_2+...+b_n)\)

Câu 2:

Tương tự câu 1 thôi.

Do \(a+b=2\) nên bài toán tương đương: \(2(a^8+b^8)\geq (a^7+b^7)(a+b)\)

\(\Leftrightarrow a^8+b^8\geq a^7b+ab^7\Leftrightarrow (a^7-b^7)(a-b)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2(a^6+a^5b+....+ab^5+b^6)\geq 0(\star)\)

Xét \(Q=a^6+a^5b+a^4b^2+a^3b^3+a^2b^4+ab^5+b^6\)

\(Q=(a+b)(a^5+b^5)+a^2b^2(a^2+b^2+ab)\)

Dựa vào điều kiện \(a+b=2\) và biến đổi, ta thu được \(Q=16(2-ab)^2-8ab(2-ab)-a^3b^3\)

Đặt \(ab=t\Rightarrow Q=-t^3+24t^2-80t+64\)

\(\Leftrightarrow Q=(1-t)(t-8)^2+7t^2\)

Với mọi \(a,b\in\mathbb{R}\) ta luôn có \(ab\leq \frac{(a+b)^2}{4}\Rightarrow t\leq 1\). Do đó \(Q\geq 0\)

Kéo theo BĐT \((\star)\) luôn đúng, bài toán luôn đúng. Do đó ta có đpcm.

a.Ta có: a>b

\(\Leftrightarrow7a>7b\)

\(\Leftrightarrow7a-7>7b-7\)

b.Ta có: a>b

\(\Leftrightarrow-a< -b\) ( đổi chiều BĐT )

\(\Leftrightarrow-a+8< -b+8\)

Bài 1: \(\overline{abcd}\) ⋮ 101 

 ⇒ \(\overline{ab}\) \(\times\) 100 + \(\overline{cd}\) ⋮ 101

 \(\overline{ab}\) \(\times\) 101 -  \(\overline{ab}\)  + \(\overline{cd}\) ⋮ 101

  \(\overline{ab}\) \(\times\) 101 - (\(\overline{ab}\) - \(\overline{cd}\)) ⋮ 101

                     \(\overline{ab}\) - \(\overline{cd}\)  ⋮ 101 (đpcm)

238.(- 41)+ 41.138

giúp mình với huhu

làm ơn

Bài 2:     m + 4n ⋮ 13

    ⇒ 10.(m + 4n) ⋮ 13

          10m + 40n ⋮  13

   10m +  39n + n ⋮ 13

  13.3n + 10m + n ⋮ 13

              10m + n ⋮ 13 (đpcm)

a. Đề bài sai (thực chất là nó đúng 1 cách hiển nhiên nhưng "dạng" thế này nó sai sai vì ko ai cho kiểu này cả)

Ta có: \(abc=ab+bc+ca\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\Rightarrow abc\ge27\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+5abc\ge a^2+b^2+c^2+5.27>>>>>8\)

b. 

\(4=ab+bc+ca+abc=ab+bc+ca+\sqrt{ab.bc.ca}\le ab+bc+ca+\sqrt{\left(\dfrac{ab+bc+ca}{3}\right)^3}\)

\(\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}=t\Rightarrow t^3+3t^2-4\ge0\Rightarrow\left(t-1\right)\left(t+2\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow t\ge1\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\Rightarrow a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}\ge3\)

- TH1: nếu \(a+b+c\ge4\)

Ta có: \(ab+bc+ca=4-abc\le4\)

\(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+5abc\ge4^2-2.4+0=8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;2;0\right)\) và các hoán vị)

- TH2: nếu \(3\le a+b+c< 4\)

Đặt \(a+b+c=p\ge3;ab+bc+ca=q;abc=r\)

\(P=p^2-2q+5r=p^2-2q+5\left(4-q\right)=p^2-7q+20\)

Áp dụng BĐT Schur:

\(4=q+r\ge q+\dfrac{p\left(4q-p^2\right)}{9}\Leftrightarrow q\le\dfrac{p^3+36}{4p+9}\)

\(\Rightarrow P\ge p^2-\dfrac{7\left(p^3+36\right)}{4p+9}+20=\dfrac{3\left(4-p\right)\left(p-3\right)\left(p+4\right)}{4p+9}+8\ge8\)

(Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\))

BĐT\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2+6\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge8\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+3d^2-2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\ge0\) (*)

Ta có: \(a^2+b^2\ge2ab;b^2+c^2\ge2bc;c^2+d^2\ge2cd\)

\(d^2+a^2\ge2da;b^2+d^2\ge2bd;c^2+a^2\ge2ca\)

Cộng theo vế các BĐT trên suy ra \(3a^2+3b^2+3c^2+3d^2\ge2\left(ab+bc+cd+da+bd+ca\right)\)

Do vậy BĐT (*) đúng hay ta có đpcm.

P/s: EM còn khá dốt BĐT,mong được các anh chị chỉ bảo cho ạ!

Cần cù bù thông minh ^^

\(BDT\Leftrightarrow\frac{1}{9}\left(-3a+b+c+d\right)^2+\frac{2}{9}\left(2b-c-d\right)^2+\frac{2}{3}\left(c-d\right)^2\ge0\)

Hihi mình phân tích hơi nham nhở thông cảm nha :(

Thử cách này xem sao:

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-d\right)^2+\left(b-d\right)^2+\left(c-d\right)^2}{3}\ge0\) (đúng)

Vậy ta có đpcm.

\(14a-7b+4=7\left(2a-b+1\right)-3⋮7̸\)\(\Rightarrow4a+2b+1⋮7\Leftrightarrow4a+21a+2b-14b+1+7⋮7\Leftrightarrow25a-12b+8⋮7\)

\(14a-7b+4=7\times\left(2a-b\right)+4⋮̸7\)

\(\left(14a-7b+4\right)\left(4a+2b+1\right)⋮7\)

\(\Rightarrow4a+2b+1⋮7\)

\(21a-14b+7⋮7\)

\(\Rightarrow\left(4a+2b+1\right)+\left(21a-14b+7\right)⋮7\)

\(\Rightarrow\left(4a+21a\right)-\left(14b-2b\right)+\left(1+7\right)⋮7\)

\(\Rightarrow25a-12b+8⋮7\)