a) Ta có : tứ giác ABCD là hình bình hành (gt)

\(\Rightarrow\)2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của AC (1)

và O là trung điểm của BD

\(\Rightarrow OB=OD\)

mà \(DE=BF\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow OB-BF=OD-DE\)

\(\Rightarrow OF=OE\)

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của EF (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)tứ giác AECF là hinh bình hành

b) Ta có : tứ giác AECF là hinh bình hành (cma)

\(\Rightarrow AE//CF\)

\(\Rightarrow AM//CN\left(3\right)\)

Ta có : tứ giác ABCD là hinh bình hành (gt)

\(\Rightarrow AB//CD\)

\(\Rightarrow AN//CM\left(4\right)\)

TỪ (3) và (4) \(\Rightarrow\)tứ giác ANCM là hình bình hành 

\(\Rightarrow AM=CN\)

c) Ta có : tứ giác ANMC là hinh bình hành (cmb)

\(\Rightarrow\)2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

\(\Rightarrow\)O là trung điểm của NM

và O là trung điểm của AC

mà O là trung điểm của BD

\(\Rightarrow\)AC , NM , DB cùng đi qua 1 điểm

a) Trong tứ giác DEBF có:

Hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm O

Các cạnh đối BE và DF bằng nhau

\(\Rightarrow\) Tứ giác DEBF là hình bình hành.

b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, ta có O là trung điểm của BD.

Theo câu a), DEBF là hình bình hành nên trung điểm O của BD cũng là trung điểm của EF.

Vậy AC, BD, EF cùng cắt nhau tại điểm O.

c) \(\Delta ABD\) có các đường trung tuyến AO, DE cắt nhau ở M nên OM = \(\dfrac{1}{3}\) OA.

\(\Delta CBD\) có các đường trung tuyến CO, BF cắt nhau ở N nên ON = \(\dfrac{1}{3}\) OC.

Tứ giác EMFN có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường OM = ON, OE = OF nên là hình bình hành.

Bạn kham khảo nha

Bạn tự vẽ hình nha .

7.1 

Ta có : T/g ABCD là hbh

Suy ra : AB = CD 

Mà E là trung điểm của AB ; F là trung điểm của CD.

Suy ra : AE=BE=DF=CF

Xét t/g AECF có : AE = CF ( cmt )

                            AE // CF ( AB //CD )

Suy ra : t/g AECF là hbh. ( đpcm )

7.2 

Từ gt : t/g ABCD là hình bình hành

Suy ra : AC ; BD đồng quy tại trung điểm của AC hoặc trung điểm của BD (1) 

Từ 7.1 : suy ra : AC và EF đồng quy tại trung điểm của mỗi đường (2) 

Từ (1) và (2) : Suy ra : AC;BD;EF đồng quy tại trung điểm của AC; BD hoặc EF.

7.1

Vì ABCD là hình bình hành -> AB = CD -> AE = FC

Tứ giác AEFC có AE song song FC, AE = FC 

-> AECF là hình bình hành

7.2

Gọi AC∩BD tại O

Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành, hai đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

⇒O là trung điểm của AC và BD

Mà tứ giác DEBF là hình bình hành nên O là trung điểm của BD thì O cũng là trung điểm của EF

⇒AC;BD;EF cùng đồng quy tại O.

Đáp án: Giải thích các bước giải a) Hình bình hành ABCD gọi OO là giao điểm của AC và BD ⇒O⇒O là trung điểm của AC, BD (tính chất ) Xét hai tam giác vuông ΔOEBΔOEB và OFDOFD có: OB=ODOB=OD ˆBOE=ˆDOFBOE^=DOF^ (đối đỉnh) ⇒ΔOEB=ΔOFD⇒ΔOEB=ΔOFD (cạnh huyền-góc nhọn) ⇒BE=DF⇒BE=DF (hai cạnh tương ứng) Và có BE//DFBE//DF (vì cùng vuông góc với AC giả thiết) Từ hai điều trên ⇒⇒ tứ giác BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết) b) Xét ΔHBCΔHBC và ΔKDCΔKDC có: ˆBHC=ˆDKC=90oBHC^=DKC^=90o (giả thiết) ˆHBC=ˆKDCHBC^=KDC^ (=ˆBAD=BAD^ đồng vị) ⇒ΔHBC∼ΔKDC⇒ΔHBC∼ΔKDC (g.g) ⇒CHCK=CBCD⇒CHCK=CBCD (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒CH.CD=CK.CB⇒CH.CD=CK.CB (đpcm) c) Xét ΔAEBΔAEB và ΔAHCΔAHC có: ˆAA^ chung ˆAEB=ˆAHC=90oAEB^=AHC^=90o ⇒ΔAEB∼ΔAHC⇒ΔAEB∼ΔAHC (g.g) ⇒AEAH=ABAC⇒AEAH=ABAC (hai cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒AE.AC=AB.AH⇒AE.AC=AB.AH (1) Xét ΔAFDΔAFD và ΔAKCΔAKC có: ˆAA^ chung ˆAFD=ˆAKC=90oAFD^=AKC^=90o ⇒ΔAFD=ΔAKC⇒ΔAFD=ΔAKC (g.g) ⇒AFAK=ADAC⇒AFAK=ADAC (hai cạnh tương ứng bằng nhau) ⇒AF.AC=AK.AD⇒AF.AC=AK.AD (2) Ta có OE=OF (suy ra từ ΔOEB=ΔOFDΔOEB=ΔOFD câu a) OA=OC (tính chất hình bình hành) ⇒OA−OE=OC−OF⇒OA−OE=OC−OF hay AE=FCAE=FC (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra AB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.ACAB.AH+AK.AD=AE.AC+AF.AC =AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2=AC(AE+AF)=AC(FC+AF)=AC2 (đpcm)

a) Gọi O là giao điểm của BD và AC

Theo bài ra ta có: \(BE=DF< \frac{BD}{2}\)

=> DF<DO và BF< BO

=> E nằm giữa B và O ;

F nằm giữa D và O

O là giao điểm 2 đường chéo của hình bình hành ABCD => OB=OD

Theo bài ra : EB = FD

=> OB-EB= OD-FD

=> OF=OE

Xét tứ giác AECF có: O là trung điểm EF ( OE=OF) và O là trung điểm AC ( ABCD là hình bình hành)

=> AECF là hình bình hành

b) G/s: AN =NM=MB => AM=2/3 AB 

=> M là trọng tâm tam giác AGC

mà O là trung điểm AC

=> G; M; O thẳng hàng  (1) 

Gọi H là giao điểm của CM và AG 

=> H là trung điểm AG , 

Lấy P là trung điểm GM

=> HP là đường trung bình của tam giác GAM 

=> HP// = 1/2 AM

=> HP//= MB

=> HPBM là hình bình hành

=> PB//=HM

=> PB //ME 

Xét tam giác OPB có PB//ME ; M là trung điểm OP

=> ME là đường trung bình

=> E là trung điểm OB

Vậy E là trung điểm OB với O là giao điểm của hai đường chéo hình bình hành ABCD