Áp dụng BĐT cô-si, ta có 

\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}=2\)

Tương tự, ta có \(a^2+b^2+c^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge6\)

dấu= xảy ra <=>\(a^2=b^2=c^2=1\)

=>\(a^{2012}=b^{2012}=c^{2012}=1\Rightarrow a^{2012}+b^{2012}+c^{2012}=3\left(ĐPCM\right)\)

^_^

tự làm

\(\sqrt{2012}=\left(abc+bcd-a-d\right)+\left(cda+dab-c-b\right)\)

\(=\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\)

\(\Rightarrow2012=\left[\left(bc-1\right)\left(a+d\right)+\left(c+b\right)\left(ad-1\right)\right]^2\)

\(\le\left[\left(bc-1\right)^2+\left(c+b\right)^2\right]\left[\left(a+d\right)^2+\left(ad-1\right)^2\right]\)

\(=\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\left(d^2+1\right)\)

a, 5M = 5+1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2011

4M=5M-M=(5+1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2011)-(1+1/5+1/5^2+.....+1/5^2012)

               = 5-1/5^2012

=> M = (5 - 1/5^2012)/4

Tk mk nha

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)thì bài toán trở thành:

Cho \(x;y;z\in\left[0;1\right]\)và không đồng thời bằng 0.Cm:\(\dfrac{x^2y+y^2z+z^2x+3}{x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}}\ge2\)

Ta có: \(x^{1006}\le x^2\) vì \(\Leftrightarrow x^2\left(1-x^{1004}\right)\ge0\)(đúng vì \(0\le x\le1\))

Tương tự ta có: \(x^{1006}+y^{1006}+z^{1006}\le x^2+y^2+z^2\)

( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1, 1 số bằng 0)

Lại có:\(x^2y\ge x^2y^2\Leftrightarrow x^2y\left(1-y\right)\ge0\left(true\right)\)

\(\Rightarrow x^2y+y^2z+z^2x\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\)

( Dấu = xảy ra ở đây là cả 3 số bằng 1, hoặc 2 số bằng 1,1 số bằng 0 ;hoặc chỉ cần 1 số bằng 0,1 số bằng 1)

Giờ ta cần chứng minh:

\(\dfrac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+3}{x^2+y^2+z^2}\ge2\Leftrightarrow\sum\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)\ge0\)(đúng)

(Dấu = xảy ra ở đây là chỉ cần 2 số bằng 1)

Kết hợp cả 3 TH dấu = ta được:BĐT xảy ra khi cả 3 số bằng 1 hoặc 2 số bằng 1; 1 số bằng 0

Đó là x;y;z.Khi đổi về a;b;c thì còn hoán vị cả \(-1;1\)

P/s: rắc rối mỗi cái điểm rơi :V

1) n²(n²-1)
* vì n² chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² và n²-1 có một số chia hết cho 3
=> n²(n²-1) chia hết cho 3
* n² chia 4 dư 0 hoặc 1 nên n²(n²-1) có một số chia hết cho 4
=> n²(n²-1) chia hết cho 4
vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = n²(n²-1) chia hết cho 3.4 = 12

\(\text{Ta có: }\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi a=1

cách c/m:

\(\text{Xét }a^2=1\Leftrightarrow\frac{a^2}{1}+\frac{1}{a^2}=2\)

\(\text{Xét }a^2>1.\text{Đặt }a^2=k+1\left(k>0\right)\text{ta có:}\frac{k+1}{1}+\frac{1+k-k}{k+1}=\frac{k}{1}+1+1-\frac{k}{k+1}=2+\frac{k^2}{k+1}>2\left(\text{Vì }k>0\right)\)

\(\text{Xét }a^2< 1.\text{Đặt }a^2=1-k,\text{ta có: }\frac{1-k}{1}+\frac{1-k+1}{1-k}=1-\frac{k}{1}+1+\frac{1}{1-k}=2+\frac{k^2-k+1}{1-k}\)

\(k^2-k+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(k-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)(1)

\(1-k=a^2,a^2>0\Rightarrow1-k>0\)(2)

từ (1) và (2) \(\Rightarrow\frac{k^2-k+1}{1-k}>0\Rightarrow2+\frac{k^2-k+1}{1-k}>2\)

\(\text{ }\frac{b^2}{1}+\frac{1}{b^2}\ge2\)Dấu = xảy ra khi b=1

\(\frac{c^2}{1}+\frac{1}{c^2}\ge2\) Dấu = xảy ra khi c=1

\(\Leftrightarrow\left(a^2+\frac{1}{a^2}\right)+\left(b^2+\frac{1}{b^2}\right)+\left(c^2+\frac{1}{c^2}\right)\ge6\)

Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\)

??? ghi sai đề ko bạn? =3 chứ ?

p/s: sai sót bỏ qua >:

:V quên

dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\pm1\)

số mũ chẵn =.='

Boul đẹp trai_tán gái đổ 100% : Chứng minh hơi dài dòng

C1: Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2.\sqrt{a^2.\frac{1}{a^2}}=2\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=\frac{1}{a^2}\Leftrightarrow a^4=1\Leftrightarrow a=\pm1\)

....

C2: \(a^2+\frac{1}{a^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+1}{a^2}\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^4+1\ge2a^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+1-2a\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a^2=1\Leftrightarrow a=\pm1\)