\(n^3+2012n=n\left(n^2+2012\right)\)

- Nếu \(n=3k\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+1\Rightarrow n^2+2012=9k^2+6k+2013⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

- Nếu \(n=3k+2\Rightarrow n^2+2012=9k^2+12k+2016⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\)

\(\Rightarrow\left(n^3+2012n\right)⋮3\) \(\forall n\in Z\) (1)

Mặt khác ta có:

\(2014\equiv1\left(mod3\right)\Rightarrow2014^{2014}\equiv1\left(mod3\right)\)

\(\Rightarrow2014^{2014}+1\equiv2\left(mod3\right)\Rightarrow\left(2014^{2014}+1\right)⋮̸3\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

Giả sử tồn tại số nguyên n thoả mãn \(\left(2014^{2014}+1\right)\) chia hết cho \(n^3+2012n\)

Ta có: \(n^3+2012n=\left(n^3-n\right)+2013n=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)+2013n\) 

Vì: \(n-1,n,n+1\) là ba số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3

Suy ra \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 3, mà 2013 chia hết cho 3 nên \(\left(n^3+2012n\right)\) chia hết cho 3 (1)

Mặt khác: \(2014^{2014}+1=\left(2013+1\right)^{2014}+1\) chia 3 dư 2 ( vì 2013 chia hết cho 3) (2)

Từ (1) và (2) dẫn đến điều giả sử trên là vô lý, tức là không có số nguyên n nào thoả mãn đề bài toán đã cho

d.violet.vn//uploads/resources/present/3/652/138/preview.swf 

Hơi 🙄 🙄 🙄 😫 🙄 🙄 😴 😏 🙄 🙄 😏