Cho tam giác nhọn ABC, H là trực tâm của tam giác. Chứng minh:
a)\(AB+AC>HA+HB+HC\)
b)\(AB+BC+CA>\dfrac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)
Những câu hỏi liên quan
Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
a) HA + HB + HC < AB + AC
b) HA + HB + HC < \(\dfrac{2}{3}\) (AB + BC + CA)
a) Ta có: HA = 2RcosA HB = 2RcosB HC = 2RcosC AB = 2RsinC AC = 2RsinB Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2RsinC + 2RsinB Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sinC + sinB > sin(A + B) = sinCOSA + cosCSINA = cosA + cosB Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < sinC + sinB Do đó, ta có HA + HB + HC < AB + AC. b) Ta có: AB + BC + CA = 2R(sinA + sinB + sinC) = 2R(sinA + sinB + sin(A + B)) = 2R(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) = 4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B) Vậy ta cần chứng minh: 2RcosA + 2RcosB + 2RcosC < 2332 (4Rsin(A + B/2)cos(A - B/2) + 2Rsin(A + B)) Chia cả 2 vế cho 2R, ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) Áp dụng bất đẳng thức tam giác, ta có: sin(A + B) > sinC = sin(A + B/2 + B/2) = sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) Vậy ta có: 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B) < 2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B/2)cos(B/2) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + cos(A + B/2)sin(B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2)) + sin(B/2)cos(A + B/2) = sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2)) Vậy ta có: cosA + cosB + cosC < 1166(2sin(A + B/2)cos(A - B/2) + sin(A + B)) < 1166(sin(A + B/2)(2cos(A - B/2) + cos(B/2) + cos(A + B/2))) Do đó, ta có HA + HB + HC < 2332(AB + BC + CA).
Đúng 0
Bình luận (0)
10 tháng 1 2016 lúc 15:46
Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng:
a) HA + HB + HC < AB + AC
b) HA + HB + HC <\(\frac{2}{3}\)(AB + BC + CA )
Cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H. CMR:
a) HA + HB + HC < AB+ AC
b) HA +HB + HC < 2/3(AB +BC + CA)
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Đúng 0
Bình luận (0)
cho tam giác abc nhọn có h là trực tâm
a. chứng minh rằng AB+AC>HA+HB+BC
b. Gọi P là chu vi tam giác ABC. chứng minh P>3/2(HA+HB+HC)
a) Qua H kẻ HG//AB cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.
=> HI vuông BH ; CH vuông HG
và AIHG là hình bình hành
Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)
Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG
=> CH+BH + AH< BI+CG +AH
Ta lại có AH <AI+IH ( bất đẳng thức trong tam giác AIH)
mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )
=> AH < AI+AG
Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC
b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC)
Chứng minh tương tự như câu a.
Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)
\(BC+AC>HA+HB+HC\)
\(AB+BC>HA+HB+HC\)
Cộng theo vế ta có:
\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)
=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)
=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
giup minh voi. cho tam giác ABC nhọn với trực tâm H
a) HA +HB +HC < AB +AC
b) HA+ HB +HC < 2 phần 3 của tổng BC, CÁ
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Đúng 0
Bình luận (0)
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC nhọn. Chứng minh rằng: HA+HB+HC<2/3(AB+BC+CA)
Câu hỏi của Phạm Trung Kiên - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath
Em tham khảo nhé!
Đúng 0
Bình luận (0)
Gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh rằng HA + HB + HC < 2/3 (AB + AC + BC).
=
Cho tam giác ABC nhọn, trức tâm H .CMR :
a, HA + HB + HB < AB + AC
b, HA + HB + HC < 2/3 ( AB + BC + CA )
gọi H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Chứng minh: HA+HB+HC<2/3(AB+AC+BC)
