Gọi D là trung điểm BC, E là trung điểm AG. D' và E' lần lượt là hình chiếu của D và E trên đường thẳng d.

Vì G là trọng tậm tam giac ABC, D là trung điểm BC, E là trug điểm AG, suy ra AE=EG=GD.

Xét tứ giác DD'E'E, ta có : GD=GE vad GG'//EE'//DD'( cùng vuông góc với đường thẳng d ), suy ra GG' là đường trung bình của hình thang DD'E'E, suy ra 2GG'=EE'+DD'.

Chứng minh tương tự với tứ giác BB'C'C và tứ giác AA'G'G, ta được D là đường trung bình của tứ giác BB'C'C suy ra 2DD;=BB' + CC (1)',

EE' là đường trung bình của hình thang AA'G;G suy ra 2EE'=AA'+GG (2)'.

Ta có EE'+ DD' = 2 GG' ( * ) <=> 2EE' + 2DD' = 4GG'. Thay (1) và (2) vào (*) ta đc : AA' + GG' +BB' + CC' = 4GG' <=> AA' + BB' + CC' = 3GG'

BN i đó ơi :)

Bài mk k pk như thế nhé -,-

Bn vào câu hỏi tương tụ xog gòi là copy ak  ??

Hoq ngon ăn đâu :3

vẽ I thuộc AG sao cho AI=IG

I I' vuông góc vs B'C'

đường trung tuyến AM

MM' vuông góc vs B'C'

xét ΔAGA′ΔAGA′có AI=IG

I I' // AA' ( cùng vuông góc vs B'C' )

=>A'I' = I'G ( t/c đường trung bình của tam giác )

=>I I' là đường trung bình của tam giác AGA'

=>I I' = AA'/2 => 2I I' = AA' (1)

xét ΔIGI′ΔIGI′vuông tại I'

ΔMGM′ΔMGM′vuông tại M'

có IG = MG ( AM là đường trung tuyến mà G là trọng tâm =>GM=AG/2 mà I là trung điểm của AG )

IGI′ˆ=MGM′ˆIGI′^=MGM′^( 2 góc đối đỉnh)

=>ΔIGI′=ΔMGM′ΔIGI′=ΔMGM′(ch-gn)

=>I I' = MM' (2 cạnh tương ứng) (2)

từ (1) và (2) => 2MM' = AA'

xét tứ giác BB'CC'

có BB' // CC' ( cùng vuông góc với B'C' )

=> BB'CC' là hình thang

có BM = MC ( vì AM là đường trung tuyến )

=>B'M' = M'C' ( t/c đường trung bình của Hthang )

=> MM' là đường trung bình của Hthang BB'CC'

=> MM'= BB′+CC′2BB′+CC′2

=> 2MM' = BB' + CC'

mà 2MM' = AA' (cm trên)

=> BB' + CC' = AA'

Bài 1:

Gọi E là trung điểm AG và AD là trung tuyến

Mà G là trọng tâm nên \(AE=EG=GD=\dfrac{1}{3}AD\)

Gọi E' và D' lần lượt là hình chiếu của E và D lên d

Ta có AA'//BB'//CC'//DD'//EE'//GG' (cùng vuông góc với d)

Xét hình thang AA'G'G có E là trung điểm AG và EE'//AA'//GG' nên E' là trung điểm A'G'

Do đó EE' là đtb hình thang AA'G'G

Do đó \(EE'=\dfrac{AA'+GG'}{2}\left(1\right)\)

Xét hình thang BB'C'C có D là trung điểm BC và DD'//BB'//CC' nên D' là trung điểm B'C'

Do đó DD' là đtb hình thang BB'C'C

Do đó \(DD'=\dfrac{BB'+CC'}{2}\left(2\right)\)

Xét hình thang EE'D'D có G là trung điểm ED và EE'//DD'//GG' nên G' là trung điểm E'D'

Do đó GG' là đtb hình thang EE'D'D

Do đó \(2GG'=EE'+DD'\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow2GG'=\dfrac{AA'+GG'+BB'+CC'}{2}\)

\(\Rightarrow4GG'=AA'+BB'+GG'+CC'\\ \Rightarrow3GG'=AA'+BB'+CC'\\ \Rightarrow GG'=\dfrac{AA'+BB'+CC'}{3}\)

E sửa lại cái đề đi nha

Kẻ MN đối ME sao cho \(MN=ME\); DE cắt AB tại F

Mà \(AM=MD;\widehat{AMN}=\widehat{EMD}\left(đối.đỉnh\right)\)

Do đó \(\Delta AMN=\Delta DME\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ANM}=\widehat{MED};AN=DE\)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên AN//DE

Vì tg ABC đều nên \(\widehat{FAD}=60^0;\widehat{ACB}=60^0\)

Mà tg AFD vuông tại F nên \(\widehat{ADF}=90^0-\widehat{FAD}=30^0\)

Do đó \(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}=30^0\left(đối.đỉnh\right)\)

Ta có \(\widehat{ECD}=\widehat{ECB}-\widehat{ACB}=90^0-60^0=30^0\Rightarrow\widehat{ECD}=\widehat{EDC}\)

Do đó tg EDC cân tại E nên \(ED=EC\)

\(\Rightarrow EC=AN\)

Ta có AN//DE;DE⊥AB nên AN⊥AB

Vì \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{NAB}=\widehat{ECB}=90^0\\AN=EC\\AB=AC\end{matrix}\right.\) nên \(\Delta ANB=\Delta CEB\left(2.cgv\right)\)

\(\Rightarrow AB=AE\left(1\right);\widehat{NBA}=\widehat{EBC}\\ \Rightarrow\widehat{NBA}+\widehat{ABE}=\widehat{EBC}+\widehat{ABE}=\widehat{ABC}=60^0\left(2\right)\)

\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\Delta BNE\) đều 

Mà BM là trung tuyến \(\left(NM=ME\right)\) nên cũng là p/g

Vậy \(\widehat{MBE}=\dfrac{1}{2}\widehat{NBE}=30^0\)