Xét hai trường hợp :

- Trường hợp a là độ dài một cạnh góc vuông .

Từ a² + 8² = 15² ,ta có a² = 161 . Ta thấy 12² < a² < 13² nên a không là số tự nhiên

- Trường hợp a là độ dài cạnh huyền

Từ a² = 8² + 15² = 289 = 17² ,ta được a = 17

Vậy a = 17

Xét hai trường hợp:

- Trường hợp 1: a là độ dài một cạnh góc vuông.

Áp dụng định lí py- ta- go ta có:

a2 + 82 = 152

suy ra: a2 = 152 – 82 = 161 nên a = √161

(loại do a không là số tự nhiên)

-Trường hợp 2: a là độ dài cạnh huyền.

Áp dụng định lí Py- ta- go ta có:

a2 = 82 + 152 = 289 = 172, ta được a = 17 (thỏa mãn).

Vậy a = 17.

\(a^2+8^2=15^2\)

\(a^2+64=225\)

\(a^2=151\)

\(a=\sqrt{151}\)

Nếu a là độ dài cạnh góc vuông áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có

a²+8²=15² => a²=15²-8²=161

=> a=√161=12,68585.... mà a là số tự nhiên nên loại

Nếu a là độ dài cạnh huyền áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ta có

a²=8²+15²=64+225=289=17²

vậy số a cần tìm là 17

Gọi độ dài các cạnh của tam giác ABC là x,y,z;đường cao là ha, hb, hc

Đặt ha=4; hb=12; hc=c

Ta có: \(\frac{ha.x}{2}=\frac{hb.y}{3}=\frac{hc.z}{2}=S=>x=\frac{2S}{ha};y=\frac{2S}{hb};z=\frac{2S}{hc}\)

Ta lại có: x+y>z ( bất đẳng thức tam giác)

\(\frac{2S}{ha}+\frac{2S}{hb}>\frac{2S}{hc}=>\frac{1}{ha}+\frac{1}{hb}>\frac{1}{hc}=>\frac{1}{4}+\frac{1}{12}>\frac{1}{a}=>\frac{1}{3}>a=>a< 3\)

y+z>x=> \(\frac{1}{hb}+\frac{1}{hc}>\frac{1}{ha}=>\frac{1}{12}+\frac{1}{a}>\frac{1}{4}=>\frac{1}{a}>\frac{1}{6}=>6>a\)

=> a thuộc {4;5}

a thuộc {4;5}

Gọi ba cạnh là a,b,c 

\(S=\frac{4a}{2}=\frac{12b}{2}=\frac{xc}{2}\)

\(\Rightarrow2S=4a=12b=xc\Rightarrow a=\frac{2S}{4},b=\frac{2S}{12},c=\frac{2S}{x}\)

Theo bất đẳng thức tam giác thì

\(a-b< c< a+b\Rightarrow\frac{6S}{12}-\frac{2S}{12}< 2S< \frac{6S}{12}+\frac{2S}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{2S}{6}< \frac{2S}{x}< \frac{2S}{3}\)

Do x thuộc N nên x thuộc {4;5}