CMR: \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)\(< 2\)
\(\forall n\in N,n\ge2\)
Cần gấp lắm ạ!!!
Những câu hỏi liên quan
1) Chứng minh: \(2\sqrt{n}-3< \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}-2\forall n\ge2\)
2) Thu gọn: \(A=5\left(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{3-\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{5}{2}}\right)^2+\left(\sqrt{2-\sqrt{3}}+\sqrt{3+\sqrt{5}}-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2\)
1. với \(n\in N,n\ge2\). chứng minh \(2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)< \frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)
2.chứng minh \(17< \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+....+\frac{1}{\sqrt{100}}< 18\)
Cmr ∀ n ∈ \(Z^+\)ta luôn có : \(1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+.....+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
\(A=2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)\)
\(A>2\left(\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)
\(A>2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Bài 1: CMR
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+........+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}>2,n\varepsilonℕ^∗\)
Bài 2: Cho S= \(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}\)
CMR S<\(\frac{1}{2}\)
CMR: \(\forall n\in N\)thì \(\left|\left\{\frac{n}{1}\right\}-\left\{\frac{n}{2}\right\}+\left\{\frac{n}{3}\right\}-...-\left(-1\right)^n\left\{\frac{n}{n}\right\}\right|< \sqrt{2n}\)
CMR: Với n thuộc N* thì:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{x+1}}\right)\)
Từ đó suy ra tổng sau k là số nguyên tố:
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{2008\sqrt{2007}}\)
Các bạn giúp mk với nhé! Mk cần gấp
Bài chứng minh ghi phức tạp lắm mà mình dùng điện thoại nên không ghi được. Còn số nguyên tố đó là 2 nhé
Đúng 0
Bình luận (0)
\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}\sqrt{n+1}}=\frac{\frac{n+1-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}\)
\(>\frac{1}{\sqrt{n}.\sqrt{n+1}.\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{2\left(n+1\right).\sqrt{n}}\)
Suy ra \(\text{Tổng }=...< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{199}}-\frac{1}{\sqrt{200}}\right)\)
\(=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{200}}\right)< 2\)
Một số < 2 thì hiển nhiên ko phải là một số nguyên tố (SNT nhỏ nhất là 2)
Đúng 0
Bình luận (0)
1, CMR: \(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{n^2}\ge\frac{n}{n+1}\)
2, CMR: \(2\left(\sqrt{n-1}-1\right)< 1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\)
3, CMR: \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
a, Cm công thức
\(\forall n\ge1\) ta có \(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}< \frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng tính
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
chỗ \(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\)phải là \(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\)
a, Ta có
\(\frac{2}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}-\sqrt{n+1}\right)\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}\)
\(=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2n+1}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n+1}}< \frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}\)
mà \(\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\sqrt{4n^2+4n}}=\frac{2\cdot\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{2\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}-\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}\cdot\sqrt{n+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, áp dụng bđt ta có
\(\frac{1}{3\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{5\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{4023\cdot\left(\sqrt{2011}+\sqrt{2012}\right)}< \frac{2011}{2013}\)
\(=\frac{1}{\left(2\cdot1+1\right)\left(1+\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{\left(2\cdot2+1\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}+...+\frac{1}{\left(2\cdot2011+1\right)\left(\sqrt{2011}-\sqrt{2012}\right)}\)
\(< 1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+....+\frac{1}{\sqrt{2011}}-\frac{1}{\sqrt{2012}}\)..
\(=1-\frac{1}{\sqrt{2012}}=\frac{\sqrt{2012}-1}{\sqrt{2012}}=\frac{2011}{\sqrt{2012}\cdot\left(\sqrt{2012}+1\right)}\)
\(=\frac{2011}{2012+\sqrt{2012}}< \frac{2011}{2013}\)
Bạn Nhật sai đề bài
Câu. a. Dòng thứ nhất xuống dòng thứ 2. Em chú ý mẫu số sai rồi.
b. Công thức có số 2 trên tử số. Mà em ko đưa số 2 vào thì sao áp dụng dc công thức?
1) CMR frac{1}{sqrt{1.1999}}+frac{1}{sqrt{2.1998}}+frac{1}{sqrt{3.1997}}+...+frac{1}{sqrt{1999.1}}ge1,9992) CMR frac{1}{1sqrt{2}+2sqrt{1}}+frac{1}{3sqrt{2}+2sqrt{3}}+...+frac{1}{95sqrt{94}+94sqrt{95}} 13) CMR frac{1}{2sqrt{1}}+frac{1}{3sqrt{2}}+frac{1}{4sqrt{3}}+...+frac{1}{left(n+1right)sqrt{n}} 24) CMR sqrt{n} frac{1}{sqrt{1}}+frac{1}{sqrt{2}}+frac{1}{sqrt{3}}+...+frac{1}{sqrt{n}} 2sqrt{n}
Đọc tiếp
1) CMR \(\frac{1}{\sqrt{1.1999}}+\frac{1}{\sqrt{2.1998}}+\frac{1}{\sqrt{3.1997}}+...+\frac{1}{\sqrt{1999.1}}\ge1,999\)
2) CMR \(\frac{1}{1\sqrt{2}+2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+...+\frac{1}{95\sqrt{94}+94\sqrt{95}}< 1\)
3) CMR \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+\frac{1}{4\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
4) CMR \(\sqrt{n}< \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)