Nhân hai vế của phương trình với 6xy:
                   6y+6x+1=xy6y+6x+1=xy
Đưa về phương trình ước số:
      x(y−6)−6(y−6)=37x(y−6)−6(y−6)=37 
⇔(x−6)(y−6)=37⇔(x−6)(y−6)=37
Do vai trò bình đẳng của xx và yy, giả sử x⩾y⩾1x⩾y⩾1, thế thì x−6⩾y−6⩾−5x−6⩾y−6⩾−5.
Chỉ có một trường hợp:
               {−6=37y−6=1⇔{=43y=7{−6=37y−6=1⇔{=43y=7
Đáp số:  (43;7),(7;43)
 

\(x;y\in N^{\cdot}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}\le1\\\frac{1}{y}\le1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow z=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le2\)

+ \(z=2\Leftrightarrow x=y=1\)( dấu = xảy ra)

\(+z=1\Leftrightarrow1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.\)

    Nếu x = y => 2/x  =1 => x =y =2

    Nếu  g/s  x > y => 1 = 1/x +1/y  < 2/y =>y < 2 

        => y =1  => 1/x  =0 ( vô lí ) 

Vậy x =y =2; z =1 hoặc x = y =1 ; z =2

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

Do vai trò của x,y,z là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)(nguyên dương)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}\le\frac{1}{y}\le\frac{1}{z}.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}=\frac{3}{z}.\)

\(\Rightarrow z\le1\) mà    \(z\ge1\)

\(\Rightarrow z=1.\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2-\frac{1}{1}=1\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}=\frac{2}{y}.\)

\(\Rightarrow y\le2\)mà   \(y\ge1\)

\(\Rightarrow y\in\left\{1;2\right\}.\)

*Nếu \(y=1\Rightarrow\frac{1}{x}=1-\frac{1}{1}=0\Rightarrow x=\frac{1}{0}\)(vô lí)

*Nếu \(y=2\Rightarrow\frac{1}{x}=2-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=2\)(thỏa mãn)

Vậy \(x=y=2,z=1.\)

Do vai trò của x,y,z là như nhau nen giả sử z ≥ y ≥ x ≥ 1 

Ta sẽ thử trực tiếp một vài trường hợp: 

Nếu x = 1 thì 1/y + 1/z = 0 ( vô nghiệm) 

Nếu x = 2 thì 1/y + 1/z = 1/2 <=> 2y + 2z = yz <=> (y - 2)(z - 2) = 4 

Mà :0 ≤ y - 2 ≤ z - 2 và (y- 2), (z - 2) phải là ước của 4 

Do đó ta có các trường hợp: 

{ y - 2 = 1```````{ y = 3 
{ z - 2 = 4 <=>{ z = 6 

{ y- 2 = 2````````{ y = 4 
{ z - 2 = 2 <=>{ z = 4 

Nếu x = 3 thì 1/y + 1/z = 2/3 

+ Nếu y = 3 thì z = 3 

+ Nều y ≥ 4 thì 1/y + 1/z ≤ 1/4 + 1/4 = 1/2 < 1/3 

=> phương trình vô nghiệm 

Nếu x = 4 thì 1/x + 1/y + 1/z ≤ 1/4 + 1/4 + 1/4 = 3/4 < 1 

=>pt vô nghiệm 

Vậy tóm lại phương trình đã cho có 10 nghiệm (bạn tự liệt kê)

Tui vừa trả lời 3 bài này ở câu của Nguyễn Anh Quân

Xem tui giải đúng không nha

Xin Wrecking Ball nhận xét

Đỗ Đức Đạt cop trên Yahoo

1...Chia cả hai vế cho xyz ta được 
3xy/xyz + 3yz/xyz + 3zx/xyz = 4xyz/xyz 
<=>3/x + 3/y + 3/z = 4 
<=>1/x + 1/y + 1/z = 4/3 
Vì x,y,z bình đẳng nên giả sử 0<x<=y<=z 
+nếu x>=4=> y>=4;z>=4 
=> 1/x + 1/y + 1/z <= 1/4 + 1/4 + 1/4 =3/4 < 4/3 => pt vô nghiệm 
+nếu x=1 => 1+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1/3 
<=> 3(y+z)=yz 
<=> 3y+3z-yz=0 
<=> 3y-yz+3z-9=-9 
<=> y(3-z)-3(3-z)=-9 
<=> (3-z)(3-y)=9 
Vì y,z nguyên dương nên (3-y),(3-z) nguyên dương 
mà 9=3*3=1*9=9*1 
==>3-z=3 và 3-y=3 => z=0 và y=0 (loại vì y,z nguyên dương) 
+nếu x=2 => 1/2+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=5/6 
<=> 6(y+z)=5yz 
<=> 6y+6z-5yz=0 
<=> 30y-25yz+30z-36=-36 
<=> 5y(6-5z)-6(6-5z)=-36 
<=> (5z-6)(5y-6)=36 
Vì y,z nguyên dương nên (5y-6),(5z-6) nguyên dương 
mà 36=6*6=2*18=18*2=3*12=12*3=4*9=9*4 
Giải tương tự phần trên ta được 
y=2,z=3 hoặc y=3,z=2 
+nếu x=3 => 1/3+1/y+1/z=4/3 
<=> 1/y+1/z=1 
Giải tương tự phần trên ta được y=z=2 
Vậy (x;y;z)=(2;2;3);(2;3;2);(3;2;2)

MK cop nhưng ủng hộ mk nha , mk có lòng trả lời

\(VD1\)

Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\le\sqrt{y}\)

\(\Rightarrow2\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{y}=9\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\le4,5\)

\(\Rightarrow x\le4,5^2\)

\(\Rightarrow x\le20,25\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0,1,4,9,16\right\}\)

\(\Rightarrow\sqrt{x}\in\left\{0,1,2,3,4\right\}\)

TH1 : \(x=0\Rightarrow\sqrt{x}=0\Rightarrow\sqrt{y}=9\Rightarrow y=81\)

TH2 : \(x=1\Rightarrow\sqrt{x}=1\Rightarrow\sqrt{y}=8\Rightarrow y=64\)

Th3 : \(x=4\Rightarrow\sqrt{x}=2\Rightarrow\sqrt{y}=7\Rightarrow y=49\)

Th4 : \(x=9\Rightarrow\sqrt{x}=3\Rightarrow\sqrt{y}=6\Rightarrow y=36\)

Th5 : \(x=16\Rightarrow\sqrt{x}=4\Rightarrow\sqrt{y}=5\Rightarrow y=25\)

Vì x , y có vai trò như nhau nên các trường hợp còn lại chỉ là đổi chỗ giữa x và y . ( vd y = 0 thì x = 81 )

KL....
 

VD2: Ta có:

x+y+z=xyz ( 1 )

Chia 2 vế của ( 1 ) cho xyz\(\ne\)0 ta đc:

\(\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}=1\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\)thì ta có:

\(1=\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{1}{xy}\le\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{3}{z^2}\)

\(\Rightarrow1\le\frac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)

Thay z=1 vào ( 1 ) ta đc:

x+y+1=xy

\(\Leftrightarrow\)xy -x - y = 1

\(\Leftrightarrow\)x ( y - 1 ) - ( y - 1 ) = 2

\(\Leftrightarrow\)( x - 1 ) ( y - 1 ) =2

Mà \(x-1\ge y-1\)nên \(\hept{\begin{cases}x-1=2\\y-1=1\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}}\)

Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của 1, 2, 3

Do x,y có vai trò bình đẳng như nhau,giả sử \(x\le y\le z\)

Ta có:

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{xy}=z\)

\(\Rightarrow x+y=xyz\)

\(\Rightarrow xyz\le2y\)

\(\Rightarrow xz\le2\)

\(\Rightarrow x=1;z=2\left(h\right)x=2;z=1\)

Với \(x=1;z=2\Rightarrow y=1\left(TM\right)\)

Với \(x=2;z=1\Rightarrow y=2\left(TM\right)\)

Vậy cặp số \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn là:\(\left(1;1;2\right);\left(2;2;1\right)\).

P/S:Em nghĩ câu kết luận ko cần "và các hoán vị của x,y" nữa ạ vì x=y rồi ạ.Nếu sai ở đâu mong mọi người góp ý.