a) \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

<=> \(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0\)

<=> \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c=1

b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc\)

<=> \(a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=0\)

<=> \(2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0\)

<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c

#NguyễnHoàngTiến ơi cảm ơn bạn đã giúp mình nhưng cho mình hỏi left với right trong bài của bạn có nghĩa là gì vậy hả, mình không hiểu lắm.

 a+b+c+d=0 
=>a+b=-(c+d) 
=> (a+b)^3=-(c+d)^3 
=> a^3+b^3+3ab(a+b)=-c^3-d^3-3cd(c+d) 
=> a^3+b^3+c^3+d^3=-3ab(a+b)-3cd(c+d) 
=> a^3+b^3+c^3+d^3=3ab(c+d)-3cd(c+d) ( vi a+b = - (c+d)) 
==> a^3 +b^^3+c^3+d^3==3(c+d)(ab-cd) (đpcm)

hey you, còn câu b,c?

ở đây có ai thích sơn tùng không ?

Nghỉ lâu, giờ vào bài :v

Ta có : a,b,c,d >0

\(\Rightarrow\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}>\dfrac{c}{c+d+a+b}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{d}{d+a+b+c}\)

Cộng cả 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}>1\left(1\right)\)

Ta lại có : \(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a}{a+c}\)

\(\dfrac{b}{b+c+d}< \dfrac{b}{b+d}\)

\(\dfrac{c}{c+d+a}< \dfrac{c}{c+a}\)

\(\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{d}{d+b}\)

Cộng 4 vế , ta được :

\(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< \dfrac{a}{a+c}+\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{c}{a+c}+\dfrac{d}{b+d}=\left(\dfrac{a}{a+c}+\dfrac{c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b}{b+d}+\dfrac{d}{b+d}\right)=\left(\dfrac{a+c}{a+c}\right)+\left(\dfrac{b+d}{b+d}\right)=1+1=2\)

Vậy \(\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}< 2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2)=> đpcm

Bạn ơi đây là Tiếng Anh mà chứ đâu phải Toán

Áp dụng bất đẳng thức , ta có:
$VT\left[a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\right]\ge {\left(a+b+c+d\right)}^2$
Ta cần chứng minh:
$\begin{array}{c}{\left(a+b+c+d\right)}^2\ge 2\left(ab+bc+cd+da+2ca+2bd\right)\\ \iff a^2+b^2+c^2+d^2\ge 2ca+2bd\\ \iff {\left(a-c\right)}^2+{\left(b-d\right)}^2\ge 0\end{array}$