Cho a, b là số tự nhiên khác 0, chứng tỏ rằng
a) a/b+b/a lớn hơn hoặc bằng 2
b) (a+b)×(1/a+1/b) lớn hơn hoặc bằng 4
Cho các số tự nhiên a,b(a,b khác 0) sao cho a+1/b+b+1/a có giá trị là số tự nhiên.Gọi d là ước chung lớn nhất của a và b . Chứng minh rằng a+bl lớn hơn hoặc bằng d mũ 2
trọn hết giây cuối cùng, hưởng thụ trước khi chết
mik sẽ vặn ngược kim đồng hồ trở lại trc công nguyên
cho a,b là hai số tự nhiên khác 0 chứng tỏ rằng a/b + b/a bé hơn hoặc bằng 2
Cho a,b là số tự nhiên, a+1/b, b+1/a cũng là số tự nhiên và d=ƯCLN(a,b). Chứng minh rằng: a+b lớn hơn hoặc bằng d2
2 số tự nhiên a và b chia cho M có cùng một số dư, a lớn hơn hoặc bằng b. chứng tỏ rằng a-b chia hết cho M
Gọi a=nM+d và b=eM+d (n,e E N và n>e)
a-b=nM+d-(eM+d)=nM-eM=M(n-e) chia hết cho M (đpcm)
Gọi d là số dư của a và b
Gọi k là thương của a và M
Gọi n là thương của b và M
suy ra a-b=(k*M+d)-(n*M+d)=(k-n)*M
Mà a-b=(k-n)*M !!! Suy ra a-b chia hết cho M
a=M.k+r
b=M.n+r
a-b=M.k+r-(M.n-r)=M.k-M.n=M.(k-n) chia hết cho M(đpcm)
1.a)Cho các số dương a,b,c có tích bằng 1.Chứng minh rằng (a+1)(b+1)(c+1) lớn hơn hoặc bằng 8.
b)Chocacs số a và b không âm.Chứng minh rằng (a+b)(ab+1) lớn hơn hoặc bằng 4ab.
2.Cho các số dương a,b,c,d có tích bằng 1.Chứng minh rằng a bình +b bình +c bình +d bình +ab+cd lớn hơn hoặc bằng 6.
3.Chứng minh rằng nếu a+b+c>0.abc>0.ab+bc+ca>0 thì a>0,b>0,c>0.
3. abc > 0 nên trog 3 số phải có ít nhất 1 số dương.
Vì nếu giả sử cả 3 số đều âm => abc < 0 => trái giả thiết
Vậy nên phải có ít nhất 1 số dương
Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0
mà abc > 0 => bc > 0
Nếu b < 0, c < 0:
=> b + c < 0
Từ gt: a + b + c < 0
=> b + c > - a
=> (b + c)^2 < -a(b + c) (vì b + c < 0)
<=> b^2 + 2bc + c^2 < -ab - ac
<=> ab + bc + ca < -b^2 - bc - c^2
<=> ab + bc + ca < - (b^2 + bc + c^2)
ta có:
b^2 + c^2 >= 0
mà bc > 0 => b^2 + bc + c^2 > 0
=> - (b^2 + bc + c^2) < 0
=> ab + bc + ca < 0 (vô lý)
trái gt: ab + bc + ca > 0
Vậy b > 0 và c >0
=> cả 3 số a, b, c > 0
1.a, Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4a>0\)
\(\left(b+c\right)^2\ge4b>0\)
\(\left(a+c\right)^2\ge4c>0\)
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64abc\)
Mà abc=1
\(\Rightarrow\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\right]^2\ge64\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\ge8\left(đpcm\right)\)
sai rồi. sửa a+b=a+1, b+c=b+1, a+c=c+1 nha, thông cảm, nhìn sai đề
Cho các số tự nhiên a,b sao cho a+1/b + b+1/a có giá trị là số tự nhiên. Gọi d là ƯCLN(a,b) . Chứng minh rằng a+b lớn hơn hoặc bằng d2
Cho a lớn hơn 0 và b lớn hơn 0. Chứng minh rằng
( 1/ a +1/b) ( a + b) lớn hơn hoặc bằng 4
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
\(\Leftrightarrow1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge4\)
\(\Leftrightarrow\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\)
Vì a > 0 và b > 0 \(\Rightarrow ab>0\)
Vậy \(\frac{b^2+a^2}{ab}\ge2\Leftrightarrow b^2+a^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.
bài này có nhiều hướng đi lắm =))
\(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge4\)
1. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b}=\frac{4}{a+b}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge\frac{4}{a+b}\cdot\left(a+b\right)=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
2. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\); \(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
=> \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{\frac{1}{ab}}\cdot2\sqrt{ab}=4\). Dấu "=" xảy ra <=> a=b
3. \(\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(a+b\right)=1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+1\ge2+2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2+2=4\)(AM-GM)
Dấu "=" xảy ra <=> a=b
cho a,b thuộc N và (a+1):b +(b+1):a là số tự nhiên
gọi d là ước chung lớn nhất của a và b
Chứng minh rằng a=b lớn hơn hoặc bằng d^2
cho 2 số a,b thỏa mãn a+b khác 0 . chứng minh rằng : a^2+b^2+((ab+1)/(a+b)) lớn hơn hoặc bằng 2