Bài 1: Cho đa thức:
f(x)=ax2+bx+c
CMR nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là hai số trái dấu
Bài 2: Cho hai đa thức:
P(x)= x2+(2m+1)x+m2
Tìm m để P(x)=Q(x)
cho đa thức f(x)=ax2+bx+c .cmr nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c đối nhau
Cho đa thức f(x) = ax2 + bx+ c. Chứng minh rằng nếu f(x) nhận 1 và -1 là nghiệm thì a và c là 2 số đôi nhau.
Ta có \(f\left(1\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\) (1)
Lại có \(f\left(-1\right)=0\Rightarrow a-b+c=0\) (2)
Cộng 2 vế của (1) và (2) ta có:
\(2\left(a+c\right)=0\Rightarrow a+c=0\Rightarrow a=-c\)
Vậy a và c là hai số đối nhau
Bài 5: (1,0đ)
Cho hai đa thức sau:
f(x) = ( x-1)(x+2)
g(x) = x3 + ax2 + bx + 2
Xác định a và b biết nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x).
Ta có f(x)=0 <=> \(\left(x-1\right)\left(x+2\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên 1 và -2 là nghiệm của đa thức g(x)
+Thay x=1, ta có: \(g\left(1\right)=1^3+a.1^2+b.1+2=0\Leftrightarrow1+a+b+2=0\Leftrightarrow a+b=-3\left(1\right)\)
+Thay x=-2, ta có:
\(g\left(-2\right)=\left(-2\right)^3+a.2^2+b.\left(-2\right)+2=0\Leftrightarrow-8+4a-2b+2=0\Leftrightarrow4a-2b=6\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3\\4a-2b=6\end{matrix}\right.\)
Giải hệ pt, ta được: a=0, b=-3.
Ta có : f(x) = 0
⇔ ( x-1)(x+2) = 0
⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-2\end{matrix}\right.\)
Vì nghiệm của đa thức f(x) cũng là nghiệm của đa thức g(x) nên x =1 hoặc x = -2 là nghiệm của g(x)
Thay x = 1 vào g(x) = 0
⇔ 13 + a.12 + b.1 + 2 = 0
⇔ 1 + a + b + 2 = 0
⇔ a + b = -3 (1)
Thay x = -2 vào g(x) = 0
⇔ (-2)3 + a.(-2)2 + b.(-2) + 2 = 0
⇔ -8 + a.4 - 2.b + 2 = 0
⇔ 4a - 2b = 6
⇔ 2.(2a - b ) = 6
⇔ 2a - b = 3 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\left\{{}\begin{matrix}a+b=-3\\2a-b=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3a=0\\b=-3-a\end{matrix}\right.\Leftrightarrow}\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-3\end{matrix}\right.\)
Để f (x) có nghiệm thì : f (x) = 0
=> (x−1)(x+2)=0
\(\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\x+2=0\end{matrix}\right.\)=>\(\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=2\end{matrix}\right.\)
Vậy x = 1 và x = −2 là nghiệm của đa thức f (x)
Do nghiệm của f (x) cũng là nghiệm của g (x) nên x = 1 và x = −2 là nghiệm của g (x)
⇒g(1)=13+a⋅12+b⋅1+2=0
⇒1+a+b+2=0
⇒3+a+b=0
⇒b=−3−a (1)
@)
g(−2)=(−2)3+a⋅(−2)2+b⋅(−2)+2=0
⇒−8+4a−2b+2=0
⇒2⋅(−4)+2a+2a−2b+2=0
⇒2⋅(−4+a+a−b+1)=0
⇒(−3+2a−b)=0
=> 2a − b = 3 (2)
thay (1) vao (2) ta dc
2a−(−3−a)=3
⇒a=0
Do 2a−b=3
⇒b=−3Vậy a = 0 ; b = −3
Cho đa thức f(x)=ax2+bx+c.
CMR: nếu f(x) nhận giá trị là 1 và -1 là nghiệm thì a và c là hai số đối
\(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(f\left(1\right)=a+b+c=0\)
\(f\left(-1\right)=a-b+c=0\)
\(\Leftrightarrow f\left(1\right)+f\left(-1\right)=a+b+c+a-b+c=0\)
\(\Leftrightarrow2a+2c=0\)
\(\Leftrightarrow2a=-2c\)
\(\Leftrightarrow a=-c\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Cho đa thức f(x)= ax^2 + bx + c . CM rằng nếu x= 1 và x= -1 là nghiệm của đa thức f(x) thì a và c là hai số đối nhau
Vì nếu x = 1 và x = -1 là nghiệm của đa thức f(x)
=> f(1) = 0 và f(-1) = 0
Ta có:
f(1) = a + b + c = 0
và f(-1) = a - b + c =0
=> f(1) + f(-1) = a + b + c + a - b + c = 0
=> 2a + 2c = 0
=> a + c = 0
=> a và c trái dấu
Vậy: a và c là 2 số đối nhau
Bài: a) Xác định đa thức f(x) = ax + b biết f(2) = - 4 ; F(3) = 5.
b) Xác định a và b biết nghiệm của đa thức G(x) = x2 – 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = x3 + ax2 + bx – 2
Cho đa thức f(x)=ax^2+bx+c . Chứng minh rằng nếu x=1 và x=-1 là nghiệm của đa thức f(x) thì a và c là hai số đối nhau
Cho đa thức f(x)= ax + bx + c . CM rằng nếu x= 1 và x= -1 là nghiệm của đa thức f(x) thì a và c là hai số đối nhau
Bài 1. Tìm đa thức P(x) = x2 + ax + b. Biết rằng nghiệm của đa thức P(x) cũng là nghiệm của đa thức Q(x) = (x+2)(x-1)
Bài 2. Cho đa thức f(x) thỏa mãn f(x) + x f(-x) = x + 1 với mọi giá trị của x. Tính f(1)
Bài 3. Cho đa thức P(x) = x(x - 2) - 2x + 2m - 2015 (x là biến số, m là hằng số). Tìm m để đa thức có nghiệm.