cho tam giác ABC. kẻ phân giác trong BD, CK. từ A kẻ đường thẳng vuông góc với CK tại M, từ A, C kẻ các đường thẳng vuông góc với BD tại N và L tương ứng, MN cắt AC tại E, BF cắt CL tại E
a, chứng minh MN//BC
b, chứng minh LF//AB và LF đi qua trung điểm BC
c, chứng minh DE//BC
cho tam giác ABC. kẻ phân giác trong BD, CK. từ A kẻ đường thẳng vuông góc với CK tại M, từ A, C kẻ các đường thẳng vuông góc với BD tại N và L tương ứng, MN cắt AC tại E, BF cắt CL tại E
a, chứng minh MN//BC
b, chứng minh LF//AB và LF đi qua trung điểm BC
c, chứng minh DE//BC
a) AM cắt BC tại P, AN cắt BC tại Q
Ta có: BN là đường cao của \(\Delta ABQ\) (gt) (1)
Mà BD là đường phân giác của \(\Delta ABC\) (gt)
\(\Rightarrow BN\)cũng là đường phân giác của \(\Delta ABQ\left(2\right)\)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\Delta ABQ\) cân tại B (3)
Từ (1), (3) \(\Rightarrow BN\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABQ\)
\(\Rightarrow\) NA = NQ (4)
Tương tự có: CM là đường cao của \(\Delta ACP\) (gt) (5)
Mà CK là đường phân giác của \(\Delta ABC\)
\(\Rightarrow CM\)cũng là đường phân giác của \(\Delta ACP\)(6)
Từ (5), (6) \(\Rightarrow\Delta ACP\) cân tại C (7)
Từ (6), (7) \(\Rightarrow CM\)cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ACP\)
\(\Rightarrow MA=MP\left(8\right)\)
Từ (4), (8) \(\Rightarrow MN\)là đường trung bình của \(\Delta APQ\)
\(\Rightarrow MN\)// PQ
\(\Rightarrow MN\)// BC (9)
b) MF cắt LC tại H
Từ (9) \(\Rightarrow\) MF // PC (10)
Từ (8), (10) \(\Rightarrow FA=FC\) (11)
Từ (1) \(\Rightarrow\) BN \(\perp AQ\)
\(\Rightarrow BL\perp AQ\) (12)
Mà BL \(\perp LC\) (gt) (13)
Từ (12), (13) \(\Rightarrow AQ\) // LC
\(\Rightarrow\widehat{NAF}=\widehat{HCF}\) (2 góc so le trong) (14)
Xét \(\Delta NFA\) và \(\Delta HFC\) ta có:
\(\widehat{NFA}=\widehat{HFC}\) (2 góc đối đỉnh) (15)
Từ (11), (14), (15) \(\Rightarrow\Delta NFA=\Delta HFC\left(G-C-G\right)\)
\(\Rightarrow FN=FH\) (2 cạnh tương ứng) (16)
Từ (16) \(\Rightarrow LF\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền NH của \(\Delta NLH\) vuông tại L
\(\Rightarrow LF=\dfrac{1}{2}NH\) (17)
Từ (16) \(\Rightarrow FN=FH=\dfrac{1}{2}NH\) (18)
Từ (17), (18) \(\Rightarrow LF=FN\)
\(\Rightarrow\Delta LFN\) cân tại F
\(\Rightarrow\)\(\widehat{LNF}=\widehat{NLF}\) (19)
Từ (2) \(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{QBN}\) (20)
Từ (9) \(\Rightarrow\widehat{MNB}=\widehat{QBN}\) (2 góc so le trong) (21)
Từ (20), (21) \(\Rightarrow\) \(\widehat{ABN}=\widehat{MNB}\) (22)
Mà \(\widehat{LNF}=\widehat{MNB}\) (2 góc đối đỉnh) (23)
Từ (22), (23) \(\Rightarrow\widehat{ABN}=\widehat{LNF}\left(24\right)\)
Từ (19), (24) \(\Rightarrow\widehat{NLF}=\widehat{ABN}\) (25)
Mà đây là cặp góc ở vị trí so le trong
\(\Rightarrow LF\) // AB
LF cắt BC tại G
Từ (20), (25) \(\Rightarrow\Delta BGL\) cân tại G
\(\Rightarrow GB=GL\) (26)
Từ (9) \(\Rightarrow MH\)// PC
\(\Rightarrow\widehat{LHF}=\widehat{LCG}\) (2 góc đồng vị) (27)
Từ (17), (18) \(\Rightarrow LF=FH\)
\(\Rightarrow\Delta LFH\) cân tại F
\(\Rightarrow\widehat{HLF}=\widehat{LHF}\) (28)
Từ (27), (28) \(\Rightarrow\widehat{LCG}=\widehat{HLF}\)
\(\Rightarrow\Delta LGC\) cân tại G
\(\Rightarrow GL=GC\) (29)
Từ (26), (29) \(\Rightarrow GB=GC\)
Vậy LF sẽ đi qua trung điểm của BC
c) Từ (9) \(\Rightarrow\) NF // BC (30)
Từ (30), theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:
\(\dfrac{ND}{BD}=\dfrac{FN}{BC}\) (31)
Từ (30) \(\Rightarrow FG\)// BC, theo hệ quả của định lý Ta-lét ta có:
\(\dfrac{EF}{EB}=\dfrac{FH}{BC}\) (32)
Từ (16) \(\Rightarrow\dfrac{FN}{BC}=\dfrac{FH}{BC}\) (33)
Từ (31), (32), (33) \(\Rightarrow\dfrac{ND}{BD}=\dfrac{EF}{EB}\) (34)
Từ (34) \(\Rightarrow\) NF // DE (định lý Ta-lét đảo) (35)
Từ (30), (35) \(\Rightarrow DE\) // BC
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác góc B cắt cạnh AC ở D. Kẻ DE vuông góc với BC tại E.
a) Chứng minh DA = DE.
b) Chứng minh BD là trung trực của AE.
c) Kẻ CK vuông góc với BD tại K, các đường thẳng CK, BA cắt .nhau tại F. Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng.
d) Chứng minh BC - BA > DC - DA.
Cho tam giác ABC vuông tại A. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D. Kẻ DE vuông góc với AC tại E.
a, CM: DA=DE.
b, CM: BD là trung trực của AE.
c, Kẻ CK vuông góc với BD tại K, đường thẳng CK; DA cắt nhau tại F. CM: 3 điểm D; E; F thẳng hàng.
Bạn nào biết làm giúp mình với !!!(kiêm luôn vẽ hình)
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE=BD. Các đường thẳg vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M và kẻ từ E cắt AC tại N.
a)Chứng minh rằng: BM = CN.
b)Gọi I là giao điểm MN với BC, đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt đường thẳng AH tại K (H là trung điểm BC). Chứng minh tam giác KMN cân.
c)Chứng minh rằng: CK vuông góc với AN
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD . Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D cắt AB tại M và kẻ từ E cắt AC tại N.
a) CMR: BM = CN.
b) Gọi I là giao điểm của MN với BC, đường thẳng vuông góc với MN tại I cắt đường thẳng AH tại K (H là trung điểm của BC). Chứng minh tam giác KMN cân.
c) CMR: CK vuông góc với AN.
a) Ta thấy \(\widehat{ECN}=\widehat{ACB}\) (Hai góc đối đỉnh)
Tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}\Rightarrow\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\)
Xét tam giác vuông BDM và CEN có:
BD = CE
\(\widehat{ECN}=\widehat{DBM}\) (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BDM=\Delta CEN\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
\(\Rightarrow BM=CN\) (Hai cạnh tương ứng)
b) Do \(\Delta BDM=\Delta CEN\Rightarrow MD=NE\)
Ta thấy MD và NE cùng vuông góc BC nên MD // NE
Suy ra \(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}\) (Hai góc so le trong)
Xét tam giác vuông MDI và NEI có:
MD = NE
\(\widehat{DMI}=\widehat{ENI}\)
\(\Rightarrow\Delta MDI=\Delta NEI\) (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)
\(\Rightarrow MI=NI\)
Xét tam giác KMN có KI là đường cao đồng thời trung tuyến nên KMN là tam giác cân tại K.
c) Ta có ngay \(\Delta ABK=\Delta ACK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{ACK}\) (1) và BK = CK
Xét tam giác BMK và CNK có:
BM = CN (cma)
MK = NK (cmb)
BK = CK (cmt)
\(\Rightarrow\Delta BMK=\Delta CNK\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{MBK}=\widehat{NCK}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ACK}=\widehat{NCK}\)
Chúng lại là hai góc kề bù nên \(\widehat{ACK}=\widehat{NCK}=90^o\)
Vậy \(KC\perp AN\)
ở câu c đáng lẽ th c.c.c khi xét tam giác BMK và CNK chứ
cho tam giác ABC cân tại A. trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE=BD. các đường thẳng vuông góc với bc kẻ từ D cắt AB tại M và kẻ từ E cắt AC tại N.
a, gọi I là giao điểm của MN và BC, đường thẳng vuông góc với MN tại I tại đường thẳng AH tại K (H là trung điểm của BC) cmr: tam giác ABC cân.
c, cmr CK \(\perp\)AN.
tam giác ABC vuông tại A , phân giác Bx cắt AC tại D , kẻ DE vuông góc với BC tại E
a) cm) tam giác ABD = EBD và BD vuông góc AE
b) kẻ AB cắt DE tại F . cm : BF = BC
c) kẻ CK vuông góc với BD tại K . cm: C ,K ,F thẳng hàng
Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường phân giác BD của góc B ( D thuộc AC). Đường thẳng đi qua A và vuông góc với BD cắt BC tại E, cắt BD tại F. Giả sử góc C = 30 độ. Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt BD và BA lần lượt tại G, I. Chứng minh rằng ; EG= 2GI
