giả sử \(\sqrt{1+\sqrt{2}}=m\) ( m là số hữu tỉ )

\(\Rightarrow\sqrt{2}=m^2-1\)nên \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ ( vô lí )

vậy ...

b) giả sử \(m+\frac{\sqrt{3}}{n}=a\)( a là số hữu tỉ ) thì \(\frac{\sqrt{3}}{n}=a-m\Rightarrow\sqrt{3}=n\left(a-m\right)\)nên là số hữu tỉ ( vô lí )

vậy ....

Đề thiếu điều kiện n là số tự nhiên nhé 

\(a)\)\(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-2\right)+...+3+2+1}\)

\(=\)\(\sqrt{\frac{n\left(n-1\right)}{2}+n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}}\)

\(=\)\(\sqrt{\frac{2n\left(n-1\right)}{2}+n}\)

\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1\right)+n}\)

\(=\)\(\sqrt{n\left(n-1+1\right)}\)

\(=\)\(\sqrt{n^2}\)

\(=\)\(\left|n\right|\)

Mà n là số tự nhiên nên \(n\ge0\)\(\Rightarrow\)\(\left|n\right|=n\)

Vậy \(\sqrt{1+2+3+4+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}=n\) ( đpcm ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

Bài làm:

a) Vì 1 là số hữu tỉ, \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

=> \(1+\sqrt{2}\) vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\) vô tỉ

b) Vì n là số hữu tỉ, \(\sqrt{3}\) vô tỉ

=> \(\frac{\sqrt{3}}{n}\) vô tỉ, mà m hữu tỉ

=> \(m+\frac{\sqrt{3}}{n}\) vô tỉ

Bn tham khảo nè: 

 giả sử x + y = a với a là số hữu tỉ 
=> y = a - x 
mà a và x là hữu tỉ nên a - x cũng hữu tỉ 
(dễ dàng chứng minh điểu này bằng cách đặt a = p/q và x = m/n) 
=> y cũng hữu tỉ 
vô lý 

Ta có : \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\text{=}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{ac}+\dfrac{1}{bc}\right)\)

\(\text{=}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+2.\dfrac{c+b-a}{abc}\)

\(\text{=}\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2\left(do-a\text{=}b+c\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}\text{=}\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(\text{=}\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\)

Do \(a,b,c\) là các số hữu tỉ khác 0 nên

\(\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\) là một số hữu tỉ

\(\Rightarrow dpcm\)

Ta có : 

 P = \(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+\dfrac{1}{2ac}+\dfrac{1}{2ab}-\dfrac{1}{2bc}}\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2+\dfrac{1}{2abc}\left(b+c-a\right)}\)

\(=\sqrt{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right)^2}=\left|\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}-\dfrac{1}{c}\right|\) (do a = b + c) 

=> P là số hữu tỉ với a,b,c \(\ne0\)

 P = 

 (do a = b + c) 

=> P là số hữu tỉ với a,b,c 

Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

phản chứng : giả sử tất cả thuộc Q a đặt a= căn 2+ căn 3(a thuộc Q) . bình phương 2 vế ta có a^2=5+2 căn 6=> căn 6 = a^2-5/2 thuộc Q => vô lí

b đặt căn 2 + căn 3 + căn 5 = a. chuyển căn 5 sang vế a bình phương lên ta có 2 căn 6=a^2-2 căn 5 a

bình phương 1 lần nữa =>căn 5= a^4+20a^2-24/4a^3 thuộc Q => vô lí

c bình phương lên => căn 2=A-1 thuộc Q => vô lí

d tương tự căn 3=Bn-mn thuộc Q => vô lí

chúc bạn học tốt

Ta có: \(a=b+c\Rightarrow c=a-b\)

\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^4+a^2b^2-2ab^3+a^4+a^2b^2-2a^3b+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2-ab\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{abc}\right|\)

=> Là một số hữu tỉ do a,b,c là số hữu tỉ

\(A=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2\left(a^2-2ab+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{b^4+a^4-2ab^3-2a^3b+3a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(b^2+a^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}\)

\(=\sqrt{\dfrac{\left(b^2+a^2-ab\right)}{a^2b^2\left(a-b\right)^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab\left(a-b\right)}\right|\)

Do a,b là số hữu tỉ\(\Rightarrow\)\(\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{ab\left(a-b\right)}\right|\) là số hữu tỉ hay A là số hữu tỉ