Ta có: VT=(x-a).(x-b)+(x-b).(x-c)+(x-c).(x-a)

              =x²-ax-bx+ab+x²-bx-cx+bc+x²-cx-ax+ca

              =3.x²-2.(ax+bx+cx)+ab+bc+ca

              =3.x²-2x.(a+b+c)+ab+bc+ca

              =x.[3x-2.(a+b+c)]+ab+bc+ca

Vì \(x=\frac{a+b+c}{2}\)

<=>a+b+c=2x

<=>2.(a+b+c)=4x

<=>3x-2.(a+b+c)=-x

=>VT=x.(-x)+ab+bc+ca

        =ab+bc+ca-x²=VP

=>ĐPCM

oh thanks you ~~~~

Xét \(VT=\left(x-a\right)\left(x-b\right)+\left(x-b\right)\left(x-c\right)+\left(x-c\right)\left(x-a\right)\)

\(=\left(x^2-ax-bx+ab\right)+\left(x^2-bx-cx+bc\right)+\left(x^2-ax-cx+ac\right)\)

\(=3x^2-2x\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca \left(1\right)\)

từ \(x=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=>2x=a+b+c\)

Do đó \(\left(1\right)=3x^2-2x.2x+ab+bc+ca=3x^2-4x^2+ab+bc+ca=ab+bc+ca-x^2=VP\left(đpcm\right)\)

a/ Biến đổi tương đương:

\(\Leftrightarrow a^2c+ab^2+bc^2\ge b^2c+ac^2+a^2b\)

\(\Leftrightarrow a^2c-a^2b+ab^2-ac^2+bc^2-b^2c\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(c-b\right)-\left(ab+ac\right)\left(c-b\right)+bc\left(c-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a^2+bc-ab-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a\left(a-b\right)-c\left(a-b\right)\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(a-c\right)\left(a-b\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(b-a\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\le b\le c\)

Vậy BĐT ban đầu đúng

Câu 2: Đề sai, cho \(a=b=c=1\Rightarrow3\ge6\) (sai)

Đề đúng phải là \(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(VT=\frac{a^2}{abc}+\frac{b^2}{abc}+\frac{c^2}{abc}=\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}\ge\frac{ab+ac+bc}{abc}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Câu 3: Không phải với mọi x; y với mọi \(x;y\) dương

Biến đổi tương đương do mẫu số vế phải dương nên ta được quyền nhân chéo:

\(\Leftrightarrow3x^3\ge\left(2x-y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^3\ge2x^3+x^2y+xy^2-y^3\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3-x^2y-xy^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(x-y\right)-y^2\left(x-y\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x^2-y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(x+y\right)\ge0\) (luôn đúng)