b+c\(\ge\) \(2\sqrt{bc}\)

(a+2b)(a+2c) =\(a^2 +2ac+2ab+ 4bc= a^2+2a(b+c) +4bc\)

\(\ge\)\(a^2+4a.\sqrt{bc}+4bc=\left(a+2\sqrt{bc}\right)^2\)

\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}=a+2\sqrt{bc}\)

tương tự: \(\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}=b+2\sqrt{ac}\)

\(\sqrt{\left(c+2a\right)\left(c+2b\right)}=c+2\sqrt{ab}\)

\(=>\sqrt{\left(a+2b\right)\left(a+2c\right)}+\sqrt{\left(b+2a\right)\left(b+2c\right)}+\sqrt{\left(c+2b\right)\left(c+2a\right)}\ge a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ac}=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=3\)

khi a=b=c ( a,b,c nguyên dương nên a+b+c>0)

=> \(3\sqrt{a}=\sqrt{3}=>\sqrt{a}=\sqrt{b}=\sqrt{c}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Thay vào M=\(\dfrac{1}{3}\)

chia abc

Do abc khác 0 nên ta chia cả 2 vế của bđt cho abc. Ta được:

\(\sqrt{\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+\frac{bc}{a^2}\right)\left(a+\frac{ca}{b^2}\right)\left(1+\frac{ab}{c^2}\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3+\frac{bc}{a^2}+\frac{ca}{b^2}+\frac{ab}{c^2}+\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+\frac{bc}{a^2}\right)\left(1+\frac{ca}{b^2}\right)\left(1+\frac{ab}{c^2}\right)}\)

ĐẶT: \(x=\frac{bc}{a^2};y=\frac{ca}{b^2};z=\frac{ab}{c^2}\Rightarrow xyz=1\)

KHI ĐÓ TA CẦN CHỨNG MINH:

\(\sqrt{3+x+y+z+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}}\ge1+\sqrt[3]{\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{3+x+y+z+xy+yz+zx}\ge1+\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}\)

ĐẶT : \(t=\sqrt[3]{2+x+y+z+xy+yz+zx}\)

ÁP DỤNG BĐT AM-GM TA CÓ:

\(x+y+z+xy+yz+zx\ge6\sqrt[6]{xyz.xy.yz.zx}=6\)        (DO xyz=1)

\(\Rightarrow t\ge\sqrt[3]{2+6}=2\)

VẬY BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ CHO TƯƠNG ĐƯƠNG VỚI:

\(\sqrt{t^3+1}\ge1+t\Leftrightarrow t^3+1\ge t^2+2t+1\Leftrightarrow t^3-t^2-2t\ge0\Leftrightarrow t\left(t+1\right)\left(t-2\right)\ge0\)

ĐÚNG VỚI : \(t\ge2\)

ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI a=b=c

\(\Rightarrow DPCM\) 

Do a, b, c là các số thực dương nên abc khác 0

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với \(\sqrt{\left(\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\right)\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}\right)}\ge1+\)\(+\sqrt[3]{\left(\frac{a^2}{bc}+1\right)\left(\frac{b^2}{ca}+1\right)\left(\frac{c^2}{ab}+1\right)}\)(Chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho abc khác 0)

Đặt \(x=\frac{a}{b};y=\frac{b}{c};z=\frac{c}{a}\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=1\end{cases}}\)và bất đẳng thức trên trở thành \(\sqrt{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}\ge1+\sqrt[3]{\left(\frac{x}{z}+1\right)\left(\frac{y}{x}+1\right)\left(\frac{z}{y}+1\right)}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+xyz}\ge1+\sqrt[3]{\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz}}\)\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)+1}\ge1+\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)

Đặt \(t=\sqrt[3]{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)suy ra \(t\ge2\). Khi đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành \(\sqrt{t^3+1}\ge1+t\Leftrightarrow t^3+1\ge t^2+2t+1\Leftrightarrow t\left(t-2\right)\left(t+1\right)\ge0\)

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do \(t\ge2\)

Vậy bài toán được chứng minh 

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c

Câu b tương tự

a/ \(\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{2c+a}\)

\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2a+b}+\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2b+c}+\sqrt[5]{3^4}.\sqrt[5]{2c+a}\right)\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\frac{3+3+3+3+2a+b}{5}+\frac{3+3+3+3+2b+c}{5}+\frac{3+3+3+3+2c+a}{5}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}\left(\frac{36}{5}+\frac{3\left(a+b+c\right)}{5}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt[5]{3^4}}.9=3\sqrt[5]{3}\)

b/ \(\sqrt[5]{a\left(a+c\right)\left(2a+b\right)}+\sqrt[5]{b\left(b+a\right)\left(2b+c\right)}+\sqrt[5]{c\left(c+b\right)\left(2c+a\right)}\)

\(\frac{1}{\sqrt[5]{6^4}}.\left(\sqrt[5]{6^2}.\sqrt[5]{6.a.3.\left(a+c\right).2.\left(2a+b\right)}+\sqrt[5]{6^2}.\sqrt[5]{6.b.3.\left(b+a\right).2.\left(2b+c\right)}+\sqrt[5]{6^2}.\sqrt[5]{6.c.3.\left(c+b\right).2.\left(2c+a\right)}\right)\)

\(\le\frac{1}{\sqrt[5]{6^4}}.\left(\frac{6+6+6a+3\left(a+c\right)+2\left(2a+b\right)}{5}+\frac{6+6+6b+3\left(b+a\right)+2\left(2b+c\right)}{5}+\frac{6+6+6c+3\left(c+b\right)+2\left(2c+a\right)}{5}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt[5]{6^4}}.\left(\frac{36}{5}+\frac{18\left(a+b+c\right)}{5}\right)\)

\(=\frac{1}{\sqrt[5]{6^4}}.18=3\sqrt[5]{6}\)

có cả mấy bất đẳng thức đó hả

bn viết công thức tổng quát ra cho mk vs

mk thanks