cho (a+b+c)^2=3(a^2+b^2+c^2) .Chứng minh a=b=c
Những câu hỏi liên quan
23 tháng 3 2023 lúc 7:49
Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c=3
Chứng minh 4(\(a^2\)+\(b^2\)+\(c^2\)) - (\(a^3\)+\(b^3\)+\(c^3\))\(\ge\)9
1. Chứng minh rằng: \(\sqrt[3]{a^3+b^3+c^3}\le\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
2. Cho a,b,c là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng: \(\sqrt{\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{\left(b-c\right)^2}+\frac{1}{\left(c-a\right)^2}}\) là 1 số hữu tỉ
\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x^2y^2z^2}\)(1) với x+y+z=0. Bạn quy đồng vế trái (1) dc \(\frac{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}{x^2y^2z^2}=\frac{\left(xy+yz+zx\right)^2-2\left(x+y+z\right)xyz}{x^2y^2z^2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a, b, c>0. Chứng minh:
a) a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)+c(a^2+ab+b^2)=<(1/3).(a+b+c)^3
b) a^3/(b^2+bc+c^2)+b^3/(a^2+ca+c^2)+c^3/(a^2=ab+b^2)>=(a+b+c)/3
Cho a, b, c >0 thỏa mãn a+b+c =3
Chứng minh rằng: ( a/ 1+b^2) + (b/ 1+ c^2) + ( c/ 1+a^2) lớn hơn hoặc bằng 3/2
Áp dụng bđt Cauchy:
\(\frac{a}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ac}{2}\)
Cộng theo vế: \(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\ge3-\frac{1}{6}\left(a+b+c\right)^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)\("="\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c >0, a+b+c=3
Chứng minh: N =(3+a2/b+c) + (3+b2/c+a)+ (3+ c2/a+b) lớn hơn hoặc bằng 6
\(N=\frac{3+a^2}{3-a}+\frac{3+b^2}{3-b}+\frac{3+c^2}{3-c}\)
Ta chứng minh \(\frac{3+a^2}{3-a}\ge2a\) với mọi \(0< a< 3\), thật vậy:
\(\Leftrightarrow3+a^2-2a\left(3-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự ta có: \(\frac{3+b^2}{3-b}\ge2b\); \(\frac{3+c^2}{3-c}\ge2c\)
Cộng vế với vế: \(\Leftrightarrow N\ge2\left(a+b+c\right)=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng :(a^3)/b+(b^3)/c+(c^3)/a >=a^2+b^2+c^2
Giải giùm mig với, mig cần gấp lắm!!
Câu 1: Cho a,b,c0và a+b+c3. Chứng minh rằng:frac{a}{1+b^2}+frac{b}{1+c^2}+frac{c}{1+a^2}gefrac{3}{2}.Câu 2: Cho a,b,c,d0và a+b+c+d4. Chứng minh rằng:frac{a}{1+b^2}+frac{b}{1+c^2}+frac{c}{1+d^2}+frac{d}{1+a^2}ge2.Câu 3: Cho a,b,c,d0. Chứng minh rằng:frac{a^3}{a^2+b^2}+frac{b^3}{b^2+c^2}+frac{c^3}{c^2+d^2}+frac{d^3}{d^2+a^2}gefrac{a+b+c+d}{2}.Câu 4: Cho a,b,c,d0. Chứng minh rằng:frac{a^4}{a^3+2b^3}+frac{b^4}{b^3+2c^3}+frac{c^4}{c^3+2d^3}+frac{d^4}{d^3+2a^3}gefrac{a+b+c+d}{3}.Câu 5: Cho a...
Đọc tiếp
Câu 1: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\).
Câu 2: Cho \(a,b,c,d>0\)và \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+d^2}+\frac{d}{1+a^2}\ge2\).
Câu 3: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^3}{a^2+b^2}+\frac{b^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3}{c^2+d^2}+\frac{d^3}{d^2+a^2}\ge\frac{a+b+c+d}{2}\).
Câu 4: Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^4}{a^3+2b^3}+\frac{b^4}{b^3+2c^3}+\frac{c^4}{c^3+2d^3}+\frac{d^4}{d^3+2a^3}\ge\frac{a+b+c+d}{3}\).
Câu 5: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^2}+\frac{b^2}{b+2c^2}+\frac{c^2}{c+2a^2}\ge1\).
Câu 6: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a^2}{a+2b^3}+\frac{b^2}{b+2c^3}+\frac{c^2}{c+2a^3}\ge1\).
Câu 7: Cho \(a,b,c>0\)và \(a+b+c=3\). Chứng minh rằng:
\(\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\ge3\).
Câu 8: Cho \(a_1,a_2,...,a_{n-1},a_n>0\)và \(a_1+a_2+...+a_{n-1}+a_n=n\)với \(n\)nguyên dương. Chứng minh:
\(\frac{1}{a_1+1}+\frac{1}{a_2+1}+...+\frac{1}{a_{n-1}+1}+\frac{1}{a_n+1}\ge\frac{n}{2}\).
Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:\(\left(a^2+3\right)\)\(\left(b^2+3\right)\)\(\left(c^2+3\right)\)\(\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)
a) Cho a,b,cinleft[0;1right] . Chứng minh rằng:a^2+b^2+c^2le1+a^2bsqrt{b}+b^2csqrt{c}+c^2asqrt{a}b) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn ab+bc+ca1 . Chứng minh rằng:left(a^2+2b^2+3right)left(b^2+2c^2+3right)left(c^2+2a^2+3right)ge64left(a^2+b^2+c^2right)Cần bài b thôi
Đọc tiếp
a) Cho \(a,b,c\in\left[0;1\right]\) . Chứng minh rằng:
\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b\sqrt{b}+b^2c\sqrt{c}+c^2a\sqrt{a}\)
b) Cho \(a,b,c\) là các số thực dương thoả mãn \(ab+bc+ca=1\) . Chứng minh rằng:
\(\left(a^2+2b^2+3\right)\left(b^2+2c^2+3\right)\left(c^2+2a^2+3\right)\ge64\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Cần bài b thôi
a) Ta có: \(a^2-1\le0;b^2-1\le0;c^2-1\le0\)
\(\Rightarrow\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\left(c^2-1\right)\le0\)
\(a^2+b^2+c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2-a^2b^2c^2\le1+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\) ( vì \(abc\ge0\) )
Có \(b-1\le0\Rightarrow a^2b\sqrt{b}\left(b-1\right)\le0\Rightarrow a^2b^2\le a^2b\sqrt{b}\)
Tương tự: \(\hept{\begin{cases}b^2c^2\le b^2c\sqrt{c}\\c^2a^2\le c^2a\sqrt{a}\end{cases}\Rightarrow dpcm}\)
Đúng 0
Bình luận (0)