a) Chứng minh rằng với giá trị bất kỳ của biến x, các đa thức sau đều dương
P(x)= x^2 -6x+10 Q(x)= (x-3)(x-5)+4
b) Chứng minh rằng không có giá trị nào của biến x để các đa thức sau dương
A(x)= 4x-5-x^2 B(x)= 24x-18-9x^2
cho hai đa thức : P(x)=5x^3+6x^2-9x+4 . Q(x)=-5x^3-4x^2+9x+5 . chứng minh rằng : không tồn tại giá trị nào của x để hai đa thức P(x) và Q(x) có cùng giá trị không dương
1. Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến: a) -9*x^2 + 12*x -15 b) -5 – (x-1)*(x+2)
2. Chứng minh các biểu thức sau luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến: a) x^4 +x^2 +2 b) (x+3)*(x-11) + 2003
3. Tính a^4 +b^4 + c^4 biết a+b+c =0 và a^2 +b^2 +c^2 = 2
Bài 1) Chứng minh rằng các biểu thức sau luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến:
a) 9x^2+12x-15
=-(9x^2-12x+4+11)
=-[(3x-2)^2+11]
=-(3x-2)^2 - 11.
Vì (3x-2)^2 không âm với mọi x suy ra -(3x-2)^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
Do đó -[(3*x)-2]^2-11 < 0 với mọi giá trị của x.
Hay -9*x^2 + 12*x -15 < 0 với mọi giá trị của x.
b) -5 – (x-1)*(x+2)
= -5-(x^2+x-2)
=-5- (x^2+2x.1/2 +1/4 - 1/4-2)
=-5-[(x-1/2)^2 -9/4]
=-5-(x-1/2)^2 +9/4
=-11/4 - (x-1/2)^2
Vì (x-1/2)^2 không âm với mọi x suy ra -(x-1/2)^2 nhỏ hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
Do đó -11/4 - (x-1/2)^2 < 0 với mọi giá trị của x.
Hay -5 – (x-1)*(x+2) < 0 với mọi giá trị của x.
Bài 2)
a) x^4+x^2+2
Vì x^4 +x^2 lớn hơn hoặc bằng 0 vơi mọi x
suy ra x^4+x^2+2 >=2
Hay x^4+x^2+2 luôn dương với mọi x.
b) (x+3)*(x-11) + 2003
= x^2-8x-33 +2003
=x^2-8x+16b + 1954
=(x-4)^2 + 1954 >=1954
Vậy biểu thức luôn có giá trị dương với mọi giá trị của biến
1/ \(-9x^2+12x-15=\left(-9x^2+2.2.3x-4\right)-11\)
\(=-11-\left(3x-2\right)^2\le-11< 0\)
Câu b và câu 2 tương tự
Chứng minh rằng các đa thức sau luôn luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến:
a,x^2+4x+7
b,4x^2-4x+5
c,x^2+2y^2+2xy-2y+3
d,2x^2-4x+10
e,x^2+x+1
f,2x^2-6x+5
a : x2 + 4x + 7 = (x + 2)2 + 3 > 0
b : 4x2 - 4x + 5 = (2x - 1)2 + 4 > 0
c : x2 + 2y2 + 2xy - 2y + 3 = (x + y)2 + (y - 1)2 + 2 > 0
d : 2x2 - 4x + 10 = 2(x - 1)2 + 8 > 0
e : x2 + x + 1 = (x + 0,5)2 + 0,75 > 0
f : 2x2 - 6x + 5 = 2(x - 1,5)2 + 0,5 > 0
a : x2 + 4x + 7 = (x + 2)2 + 3 > 0
b : 4x2 - 4x + 5 = (2x - 1)2 + 4 > 0
c : x2 + 2y2 + 2xy - 2y + 3 = (x + y)2 + (y - 1)2 + 2 > 0
d : 2x2 - 4x + 10 = 2(x - 1)2 + 8 > 0
e : x2 + x + 1 = (x + 0,5)2 + 0,75 > 0
f : 2x2 - 6x + 5 = 2(x - 1,5)2 + 0,5 > 0
Bài 2. Chứng minh rằng, giá trị của các đa thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) P = (x + 2)^3 + (x – 2)^3 – 2x(x^2 + 12)
b) Q = (x – 1)^3 – (x + 1)^3 + 6(x + 1)(x – 1)
a, \(P=\left(x+2\right)^3+\left(x-2\right)^3-2x\left(x^2+12\right)\)
\(=x^3+6x^2+12x+8+x^3-6x^2+12x-8-2x^3-24x=0\)
Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x
b, \(Q=\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)^3+6\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
\(=x^3-3x^2+3x-1-\left(x^3+3x^2+3x+1\right)+6\left(x^2-1\right)\)
\(=-6x^2-2+6x^2-6=-8\)
Vậy biểu thức ko phụ thuộc biến x
Bài 1 tìm GTLN
(1-3x)(x+2)
Bài 2 Ct đa thức sau ko có nghiệm
A=x²+2x+7
Bài 3 Chứng tỏ rằng đa thức sau luôn dương vs mọi giá trị của biến
M=x²+2x+7
Bài 4 Chứng tỏ đa thức sau luôn ko dương vs mọi giá trị của biến
A=-x²+18x-81
Bài 5 Chứng tỏ các biểu thức sau luôn ko âm vs mọi giá trị của biến
F=-x²-4x-5
Bài 1.
( 1 - 3x )( x + 2 )
= 1( x + 2 ) - 3x( x + 2 )
= x + 2 - 3x2 - 6x
= -3x2 - 5x + 2
= -3( x2 + 5/3x + 25/36 ) + 49/12
= -3( x + 5/6 )2 + 49/12 ≤ 49/12 ∀ x
Đẳng thức xảy ra <=> x + 5/6 = 0 => x = -5/6
Vậy GTLN của biểu thức = 49/12 <=> x = -5/6
Bài 2.
A = x2 + 2x + 7
= ( x2 + 2x + 1 ) + 6
= ( x + 1 )2 + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x
=> A vô nghiệm ( > 0 mà :)) )
Bài 3.
M = x2 + 2x + 7
= ( x2 + 2x + 1 ) + 6
= ( x + 1 )2 + 6 ≥ 6 > 0 ∀ x
=> đpcm
Bài 4.
A = -x2 + 18x - 81
= -( x2 - 18x + 81 )
= -( x - 9 )2 ≤ 0 ∀ x
=> đpcm
Bài 5. ( sửa thành luôn không dương nhé ;-; )
F = -x2 - 4x - 5
= -( x2 + 4x + 4 ) - 1
= -( x + 2 )2 - 1 ≤ -1 < 0 ∀ x
=> đpcm
Bài 2
Ta có A = x2 + 2x + 7 = (x2 + 2x + 1) + 6 = (x + 1)2 + 6\(\ge\)6 > 0
Đa thức A vô nghiệm
Bại 3: Ta có M = x2 + 2x + 7 = (x2 + 2x + 1) + 6 = (x + 1)2 + 6\(\ge\)6 > 0 (đpcm)
Bài 4 Ta có A = -x2 + 18x - 81 = -(x2 - 18x + 81) = -(x - 9)2 \(\le0\)(đpcm)
Bài 5 Ta có F = -x2 - 4x - 5 = -(x2 + 4x + 5) = -(x2 + 4x + 4) - 1 = -(x + 2)2 - 1 \(\le\)-1 < 0 (đpcm)
Bài 2. Chứng minh rằng, giá trị của các đa thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:
a) P = (x + 2)3 + (x – 2)3 – 2x(x2 + 12)
b) Q = (x – 1)3 – (x + 1)3 + 6(x + 1)(x – 1)
\(a)\)
\(P=\left(x+2\right)^3+\left(x-2\right)^3-2x\left(x^2+12\right)\)
\(\Leftrightarrow P=x^3+6x^2+12x+8+x^3-6x^2+12x-8-2x^3-24x\)
\(\Leftrightarrow P=0\)
Vậy P không phụ thuộc vào giá trị của biến
\(b)\)
\(Q=\left(x-1\right)^3-\left(x+1\right)^3+6\left(x+1\right)\left(x-1\right)\)
\(\Leftrightarrow Q=x^3-3x^2+3x-1-x^3-3x^2-3x-1+6x^2-6\)
\(\Leftrightarrow Q=-8\)
Vậy Q không phụ thuộc vào giá trị của biến
Chứng minh rằng đa thức f(x)= -x2 + 6x - 2013 không có nghiệm với mọi giá trị của biến
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến :
x( 5x-3) -x^2(x-1)+x(x^2-6x)-10+3x
\(=5x^2-3x-x^3+x^2+x^3-6x^2-10+3x=0\)
a, \(5x^2\)\(-3x-x^3+x^2+x^3-6x^2\)\(-10+3x\)=\(-10\)
b,\(x^3+x^2+x-x^3-x^2-x+5=5\)